46 MATHÉMATIQUES, ASTROOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



seiitations dans la forme donnée. On en déduit, par les formules (B), 

 pour ceUes de S, "429 = 83'- + lo . 6- = Tr- -j- lo . 10- = 67'- -f 

 lo . 14^ = 13* + lo . 2-2'-. 



Soit, en second lieu, N = 2904739 = 17^ 19 . 23- ; les facteurs 

 premiers 17, 19, 23 sont les mêmes que dans l'exemple précédent, mais 

 deux d'entre eux ont l'exposant 2, au lieu d'entrer à la première puis- 

 sance seulement dans la composition de N. 17* et 23* sont d'ailleurs 

 diviseurs quadratiques de la forme donnée, et l'on a 



2904739 = l7* + lo.4*) (17'- + lo.4*; (2* + lo.l*). 



Les formules (A) et (B) donnent les représentations propres de N 



2904739 = Î3Î8' + lo.279' = 1682- + IsTTl- =118' -f 13.439' 



= 1198-4- lo.313- 



et l'on voit que l'accroissement des deux exposants n'en produit aucun 

 dans le nombre des représentations propres du nombre donné, ce qui 

 est conforme à la règle énoncée ci-dessus (Uj. 



Mais si un seul des facteurs était élevé à la deuxième puissance, et 

 que le nombre donné fût, par exemple, N = 17* . 19 . 23 = 126293, 

 comme 17* et 19 sont des diviseurs quadratiques de u- + lo.i*, tandis 

 que 19 est simplement un diviseur linéaire d'une formule quadratique 

 autre que celle à laquelle appartient 19 (V. Legendre, table Vj, cette 

 circonstance rend la décomposition de N impossible dans la forme donnée. 

 Ainsi, lorsque les premiers facteurs de N sont tous ou en partie des 

 diviseurs linéaires de la forme proposée, un accroissement dans la valeur 

 de leurs exposants respectifs peut avoir pour conséquence une diminu- 

 tion dans le nombre des représentations du nombre donné, et peut 

 même rendre celles-ci absolument impossibles. 



Soit encore >' = 121069 = 13 . 67 . 139 dont on demande la ou les 

 représentations dans la forme u* + 87v*, , dont les trois facteurs pre- 

 miers sont des diviseurs linéaires, appartenant d'ailleurs à une seule et 

 même formule quadratique associée à celle-là. 



Le multiplicateur auxiliaire le plus simple qui transforme ces trois 

 facteurs en diviseurs quadratiques de la formule v/ -f- 87t* est le 

 nombre 7 et le carré de 7 jouit de la même propriété. Le nombre des 

 facteurs étant impair, on multipliera deux d'entre eux par 7 et le 

 troisième par 7-, afin que le produit de tous les multiplicateurs auxi- 

 liaires soit un carré parfait. On aura ainsi 



W= 7* . N = (7* . 13) (7 . 67 j (7 . 139) = (17*-f-87 . 2*) (ll*+87 . 2^) (2o*+87.2*) 



l'où, par les formules (A) et en se bornant à calculer les X, 



