GOHIERRE DE LONGCHAMPS. — SUR LES NORMALES AUX CONIQUES 51 



3" Les coefficients angulaires m4, [x^, M, ,2 satisfont aux formules : 



1^* = m, 

 (3) m3m^M^,^ = 



a 



a 



[K, = -— m\ 



auxquelles il faut joindre la condition connue, 



4° Quand un cercle passe par les pieds de trois normales concourantes, 

 son équation étant : 



«' + y- + Aœ + Bî/ + c = 

 on a la relation, 



^ ^ [a- + q- + (b^- + C)^ ~ 



et les coordonnées a, p du point de concours de ces trois normales sont 

 données par les formules : 



— a ^ A 



(S) 



b'-\-C 



4. De ces formules on peut déduire un trùs-grand nombre de théorème-, 

 notamment ceux qui sont démontrés dans un opuscule de M. Desboves** 

 et ceux qu'a donnés M. Laguerre, dans le travail que nous venons de 

 citer. Nous donnerons, simplement, quelques énoncés que nous croyons 

 nouveaux et que nous choisissons, parmi ceux qui nous paraissent les 

 plus dignes de remarque, dans le mémoire dont nous venons de donner 

 une idée. 



Théorème I. — Le cercle qui pasae 'par les trois points A,, Aj, A3, 



coupe, ainsi h veut le théorème de Joachimstal, l'ellipse en un quatrième 

 point A'4, diamétralement opposé au point A^. Ce même cercle va passer 

 par la projection du centre 0, sur la tangente au point A.\. 



Théorème II. — Si l'on joint le point Gj au centre de l'ellipse et 

 qu'on prolonge cette droite d'une longueur double, le point ainsi obtenu 

 est situé sur la normale au point A^. 



Théorème III. — La somme des puissances du centre de l'ellipse, par 



* Voyez, sur les coefficients angulaires m ctp*, un théorème de M. Laguerre. (Comptes rendus 

 de l'Académie des sciences. 22 juin 1877, tome LXXXIV). 

 ** Desboves. Théorénien et problèmes tur les normales auœ coniqu s. Mallet-Bachel er, 18G1. 



