52 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



rapport aux quatre cercles qui passent par les pieds de quatre normales 

 concourantes, points combinés trois à trois, est constante, et égale à 

 — 2(a^ + b''). 



Théorème IV. — Fm droite qui joint le point C,, au milieu de la 

 droite OP, et la normale PAj, rencontrent l'ellipse en quatre points situés 

 sur un cercle. 



Théorème V. — Si Von prend le milieu de Sfii, et celui de A^Cj, la 

 droite qui joint ces deux points, et la droite CjCj, rencontrent l'ellipse, 

 en quatre points, situés sur un cercle. 



Théorème VI. — Le segment intercepté sur l'axe des xpar les deux 

 normales PAj, PA^, est double de la projection de fa droite Cj C^, sur 

 ce même axe. 



Théorème VII. — Considérons une normale PA^ et nommons B^ le 

 milieu du segment intercepté sur cette normale par les axes; les points G 

 forment un polygone homothétique à celui des points B : l'homothétie 

 est inverse; le rapport d'homothétie est égal ii — 1 ; et le centre d'ho- 

 mothétie s''obtient en partageant la droite OP, dans le rapport de 1 à 3. 



Théorème VIII. — Si nous appelons A'V le second point de rencontre 

 de la normale V\^, avec l'ellipse et, comme nous l'avons déjà dit, k\ le 

 point symétrique du point A^, par rapport au centre de l'ellipse, le 

 cercle AjA^Aj va passer par la projection du point P sur la droite A\A'\. 



Nous ne multiplierons pas davantage ces énoncés; nous indiquerons 

 seulement, en terminant, le procédé que nous avons employé et qui, 

 croyons-nous, peut donner un très-grand nombre de théorèmes très- 

 simples dans le genre des théorèmes 1 et 8, qu'on vient de lire. Voici 

 ce procédé : 



L'équation d'un cerle, o) 



œ* + î/^ + Ace 4- Bi/ -f G = 

 peut s'écrire 



x'+y' + (A H- A') X + (B H- B') y + G + G' = \'x + Ky + G'; 

 le second membre est une droite arbitraire D ; le premier membre re- 

 présente un nouveau cercle w'; par conséquent le cercle w passe par 

 les points communs à D et à w'. On trouvera donc ainsi autant de 

 points remaniuables qu'on le voudia du cercle w. 



G'est ainsi qu'après avoir écrit l'équation (1) sous la forme 



- + ^' + - + ^^. = (^" + ^)(-^ + ^ + '> 



on voit que le cercle AiA^Ag passe par les points communs au cercle, 

 «* + !/' + ^^i + î/î/i = 



