54 :MAi'iii;M.\Ti(,)ri'.s, astiionomif:, (lï'.onï'.siR, mi'.canique 



liypciltolt'. l.c ,i.',r;ni(l a\f de l'ellipse, ""la, esl délini |);ir la grandeur de 

 la vilesse r„, el par la dislaiicc iiiiliale, To, des points I\l el /''. 



Soit J/7' une direclioii de la vilesse r». Conslruisoiis l'ellipse par- 

 ticulière qui correspond ù l'aiif^le a= TMA. On obtiendra aisément le 

 second foyer 7'' (Ml faisant, l'aiii^le FAfT = TMAzzz a, et en prenant 

 MF'=i'îia — ?o. ('onnaissanl les deux foyers et le {^rand axe, il est facile 

 de tracer la courbe. 



Soit M' le point où cette courbe touche son enveloppe ; le point il/' 

 appartiendra ;\ la fois i^ deux ellipses infiniment voisines, «pii auront 

 même i^rand axe et même foyei' F, et <pii passeront toutes deux par 

 le point M. Le second foyer F' clianj^e de position, et passe en F', (|uand 

 on passe de la pn^mière ellipse i\ la seconde ; mais la distance MF" est 

 toujours é^alc i\ 2(i — Tç,. D'un autre côté, si l'on joint MF, MF', MF", 

 on aura 



M'F-{-M'F' = '^a dans la première ellipse, 

 et M F -\-M'F"^ °La dans la seconde. 

 \)o\\cM'F" = MF'. 



Il en résulte (pie, dans le passaj^e de F' qx\ F", h^.s distances aux 

 points M et M ne sont pas clmui^ées : on en conclut immédiatement 

 que l'élément FF' est ;\ la fois per[)endiculaire à MF et à MF, et (jue 

 par conséquent les trois points M, F, M sont en ligne droite. Le point 

 M' où l'ellipse touche son enveloppe est donc ;\ l'intersection de l'ellipse 

 avec la droite MF' qui joint la position initiale au second foyer. 

 Si l'on ajoute membre à membre les deux équations 

 M'F-\-MF'='ia, 



MF = ^a—ro, 

 il vient, puisque les trois points M, F', M sont en ligne droite, 



M'F-\-M'M=4a—ro, 

 somme constante. Donc le lieu du point M est une ellipse ////', qui a 

 les points donnés M et F pour foyers, et qui a peur grand axe la 

 somme 4a — To. Il est aisé de vérilier a posteriori que les deux ellipses 

 HM'H , MM' se touchent au point M (*). 



On remarquera l'analogie de ce problème avec celui de la courbe 

 de sûreté dans le mouvement paraboli(jue des projectiles. Les paraboles 

 issues d'un point M, l()rs(]ue la vil(îsse initiale Vo est donnée de gran- 

 deur, ont pour (>nveloppe une parabole dont le foyer est au point M; 

 et le point M , où chaque trajectoire particulière touche la parabole 



(*) U est facilo d'éviter l'uinploi des inliniment petits. Pour cela, il sulUt de chercher dans 

 quelle direction on doit lancer le corps au point .1/ pour que la trajectoire passe par un point 

 U' donni'. La Violation consiste à tracer des puints M ot Si' comme centres, avec dos rayons 

 iIF'=z'2a — r„, ut M'F' ~2a — M'F, dos arcs de cercle qui se couperont au second foyer. Il y a 

 deux ^olutions si les deux cercles se coupent, une seule s'ils sont tang;onts, et point de solution 

 s'ils sont extérieurs l'un à l'autre. Le point JU' est situé sur l'enveloppe dans le cas où les deux 

 cercles sont tangents, c'est-à-dire lorsque les trois points M, F', M' sont en ligne droite. 



