ÉD. COLLIGNON. — ENVELOPPE DES ELLIPSES PLANÉTAIRES o5 



enveloppe, est sur la droite MF' qui joint le point M au foyer de cette tra- 

 jectoire. On passe d'un problème à l'autre en supposant que le point F 



s'éloigne à l'infini, la distance MF' restant constante et égale à— ^ . 



Si, au contraire, c'était le foyer F' qui passât à l'infini, le point M' 

 serait aussi infiniment éloigné, et il n'y aurait pas d'enveloppe; c'est ce 

 qui arrive pour le mouvement parabolique des comètes. 



Examinons le cas du mouvement hyperbolique, lorsque v^^ > ■— • la 



même méthode peut être suivie et donne la courbe enveloppe des hy- 

 perboles correspondantes à une 

 même valeur Vo de la vitesse ini- 

 tiale. Mais le point M' (fig. 2) oiî 

 l'hyperbole touche son enveloppe, 

 est situé sur la branche P'Q', et 

 non sur la branche PQ, véritable 

 trajectoire du point mobile; de 

 sorte que le lieu des points M' 

 est une enveloppe géométrique, 

 mais non une courbe de sûreté. 

 Ce lieu est une ellipse. En effet, 

 appelant 2a l'axe AB de l'hyper- 

 bole, axe constant par hypo- 

 thèse, on a i>/F=:2a-f-ro ; d'ail- 

 leurs MF — M'F'=z'ia, puisque 

 le point M est sur l'hyperbole. 

 Donc enfin, 



M'F ^MM =M'F—M'F' -^M'F'-\-MM'='ia+'2a-^n = Aa^n, 

 quantité constante. L'enveloppe cherchée est, en définitive, une ellipse 

 HH', ayant Aa-^-r^ pour grand axe et les points il/ et F pour foyers. 



Il y a un dernier cas à examiner, celui où, au lieu d'être attiré vers 

 un centre fixe F, le point mobile serait soumis à une répulsion émanant 

 de ce centre. La trajectoire est alors hyperbolique, mais le mobile dé- 

 crit la branche d'hyperbole qui laisse le foyer F en dehors de sa con- 

 cavité. Le second foyer F est situé à une distance ro •— 2a du point M, 

 et il est facile de s'assurer que celte différence est toujours positive (*). 



(*) Soit f le coefficient de l'attraction rapportée à l'unité de distance et à l'unité de masse ; 

 A le double de l'aire décrite dans Tunité de temps par le rayon vecteur FM; B la différence 

 , 2/- 



Vo- . 



f — f 



Le demi-axe a de la trajectoire est donné par l'équation a— — --= 1 quantité posi- 



'^ 2/' 



IFg. 2. 



