56 MATHI^^MATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Le point M', où l'hyperbole trajectoire touche son enveloppe, se trouve 

 situé, tantôt sur la trajectoire elle-même, tantôt sur la branche opposée, 

 et il est facile de démontrer que la différence des distances MM — MF 

 est égale en valeur absolue à la quantité constante 4a — To, prise elle- 

 même en valeur absolue. L'enveloppe cherchée est donc une hyperbole 

 dont les foyers sont les points if et F; l'une des branches de cette hy- 

 perbole, celle qui touche les trajectoires proprement dites, est une 

 courbe de sûreté; l'autre branche est une simple enveloppe géomé- 

 trique, et n'a pas do signification mécanique. Le cas particulier de 

 4a = ?*o doit être remarqué : car alors l'enveloppe cherchée devient la 

 perpendiculaire élevée au milieu de la droite 3IF. 



Il est à peine besoin de faire remarquer que ces résultats s'étendent 

 à l'espace, en faisant tourner la figure autour de l'axe MF. 



M. E. CATALAN 



Professeur d'analyse à l'Université de Liège. 



SUR LES LIGNES DE COURBURE DE L ELLIPSOÏDE ET DE LA SURFACE 

 DES ONDES (*). 



( EXTRAIT.) 



— Séance du 24 août 1878. — 



l. Lignes de courbure de l'ellipsoïde. 



4. On sait que, l, m, n étant les cosinus directifs de la normale MN à 

 une surface quelconque, les lignes de courbure peuvent être représentées 

 par 



dx dxj (/s ... 



dl dm du 



Introduisons, comme nouvelles variables, le rayon vecteur u et la 

 distance v de l'origine au plan tangent en M, de manière que 



w^ = X* -f î/2 _^ n^t^ ^ —. Ij, j^ „jy _[_ nz. (2) 



tive si /'est négatif. On en déduit Vo^:=f\ ) 



\ro a / • 



Le produit f { j est donc toujours positif. Dans le cas de la répulsion, /'est négaUf ; 



\r. a / 

 2 1 



donc l'est aussi, et par suite n — 2a est positif. 



ro a 



(*) Ce peiit travail, encore incomplet, peut être regardé comme faisant suite au Mémoire sur 

 «»w transformation géométrique et sur lu surface des ondes [Académie de Belgique, 1868). 



