CATALAN. — SUR LES LIGNES DE COURBURE DE l'eLLIPSOIDE 57 



Nous pourrons prendre, comme équation des lignes de courbure, 



dx udu 



dl du 



2. Dans le cas de l'ellipsoïde, on trouve (*) 



(3) 



a^udu — dv 



dx v' 



dl ~~ uvdu + (w^ — 6* — c^) du ' ^*^ 



en sorte que l'équation (3) devient 



u^v'du'' — uv^ {a" + 6^ + c^ — w'') dudv + a'^b^c'^dv^ = 0. (5) 

 L'intégrale de cette équation est 



u^=a^ + b^ + c^- -^^^ - g^; (6) 



g désignant le paramètre d'un hyperboloïde homofocal avec l'ellipsoïde 

 donné (**). 



3. Transformation de V équation (3). — Soient, comme dans le Mémoire, 

 a, p, Y les cosinus directifs d'une droite OA, perpendiculaire au pian 

 OMN. En posant 



k = -{■ \Ju^ — v\ (7) 



on trouve 



a p Y 1 



ny — mz Iz — nx mx — ly k 



puis, au lieu de l'équation (3), 



^j (xdx udu 



Z ~ dv 



adl 



4. Dans le cas de l'ellipsoïde, on trouve : 



adx = --T^—, Z^aH¥ — i 



(8) 



(9) 



a'^b'^c^k ^ ^ k^v^-{-{b^—v^){c'^—v^y (10) 



~^^}Mc ^ ~~^ ^ k'v'' + (6^ — v')(c^ — V') ' (11) 

 donc, si l'on désigne par cp le premier membre de l'équation (9), on a, 

 au lieu de cette équation, 



Vcp = 



2lja^(b''—c%uv^du—b^c^dv)[kH'^-\-(c^—v''){a^—v'')][k^v''-^(a''=v%b''—v'')] 



2j [b^—c^) [uv^du— b^cHv)[k^v^-\-{c^-^v%a^—v^)][k^v''-\-{a''—v%b''—V')] 



(12) , 



(*) Mélanges mathématiques, p. 2*4. 

 (♦*) Mélanges, p. 262. 



