CATALAN. — SUR LES LIGNES DE COURBURE DE l'eLLIPSOIDE 59 



n résulte, de ces valeurs : 



j (18) 



ké^adL = ^^adx — vZ^^c/.dl. ] 



Désignons par <I> le premier membre de l'équation (17). D'après les 

 deux dernières formules, 



a. = '"f - "' . (19) 



cp — V 



OU <ï)cp — (* + cp) î; + 1*2 = 0. (20) 



7. L'équation (17) des lignes de courbure de S, peut, d'après la valeur 



(19), être remplacée par 



vdu — udv 



udu — vdv 



On a donc ce théorème : 



La même fonction cp, égale à u— -r — , pour les lignes de courbure de 



s, devient égale à u — — , pour les lignes de courbure de S; 



ou, ce qui est équivalent: 

 La même fonction cp, égale à u ~ — , pour les lignes de courbure de s, 



j • ^^ 7 . vdu — udv , , ,. , 



devient égale a u — -t-^- pour les transformées, sur s, des lignes de 



courbure de S. 



En effet, un point M de S, et son conjugué m, ont mêmes coordon- 

 nées u, V {*). 



8. Remarque. L'équation (20), étant symétrique par rapport aux fonc- 

 tions cp; ^, les lignes de courbure de s sont représentées, indifféremment, par 



udu ^ vdu — udv 



? = —, — , <i' = u 



dv udu — vdv 



et les lignes de courbure de S, par 



udu vdu — udv 



* = — : — , co = u 



dv ' udu — vdv 



III 



Lignes de courbure de La surface des ondes. 

 9. Dans le cas de l'ellipsoïde, nous avons trouvé 



_ _w^ (k'^v' -|- V) uvdu — a'^b'^c'^k'^ dv 

 "^ ~ ~v~ k'u^vHu + (Uî;=' — a^b^c^k^)dv' 



(15) 



(*) Dans ces derniers temps, j'ai cherché l'interprétation géométrique de" Téquation (20); mais 

 je n'ai trouvé aucun résultat simple. J'espère revenir sur cette question intéressante. 



