60 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



donc les lignes de courbure de la surface des ondes sont représentées 

 par l'équation 



^ (/;;2y4 _^ V) uvdu — a^b^c^k^dv _ vdu — udv 

 ~ khi^v^du -f- (Ut-2 — a-b-c'k'')dv ~ udu — vdv ' 



que l'on peut réduire à 



\u^vdu^ — \(Vv^ + \u^)v^ + k^ (a^b^c^ — u^v')] dudv -\- {Juv^dv"" = 0. 



(22) 



Celle-ci, dont la forme est symétrique, paraît néanmoins difficile à 

 intégrer, même quand l'ellipsoïde s se réduit à un cylindre ou à une 

 ellipse (*). Si quelque Géomètre parvient à résoudre le problème que je 

 m'étais proposé, ce sera peut-être en appliquant ce remarquable théo- 

 rème, dû à M. Paul Mansion : Toute équation du 'premier ordre est 

 réductible à réquation de Clairaut {**). Je passe sous silence les nom- 

 breuses tentatives auxquelles je me suis livré. 



IV 



Transformées, sur la surface des oades, des lignes de courbure de 



l'ellipsoïde. 



10. Problème. On mène, dans la surface des ondes, 0, un demi- 

 diamètre s, parallèle à une normale mn à l'ellipsoïde. Quelles sont les 

 valeurs tZe s ? 



Les coordonnées du point G sont 



vx vy vz 



H is = —.s, ms = -^s, 713 = — ^ s; 



donc, à cause de la condition connue 



y '"^' =0. 



'^ s^ — a^ 

 la quantité s^ est racine de l'équation 



2 x^ 

 a^ (s2 _ a^) 



que l'on peut remplacer par 



= 0, 





ou encore, par 



i + Z- 



X' 



= 0. 



(23) 



(•) Dans ce second cas particulier, la surface S. représentée par 



(rt2a;2 -|. 62y2) (a;2 + y'- + z^] - a^b'- [x'^ + y^) = 0, 

 est une cydotomique à directrice elliptique. (Mélange>;, p. 170.) , ,. , 



{**] J'en ai conclu que tout système de courbr., représente par f (x, y. c) = 0, peut être trans- 

 formé en un système de lignes droites [Bulletin de f Académie de Belgique, février 1877). 



