CATALAN. SUR LES LIGNES DE COURBURE DE l'eLLIPSOIDE 61 



Le poiiiL m est situé sur l'hyperboloïde G, représenté par 



a^ — g" 



= 1; 



donc l'équation ('23) est vérifiée par s* =: ^2. g^ conséquemment, par 

 5- = /i% h étant le paramètre du second hyperboloïde H, homofocal à 

 l'ellipsoïde E, et passant au point m. On a donc ce théorème : 



Soient ni un point de VelUpso'ide E, et g, h les paramètres des hyper- 

 boloïdes G, H qui se coupent en m, et constituent, avec E, un système 

 triplement orthogonal. Si, par le centre 0, on mène une parallèle à la 

 normale, en m, à E, et que Von prenne, sur cette normale, OG = g, 

 OH = h; les points G, H appartiennent à la surface des ondes, conju- 

 guée de E. 



1 1 . Corollaire. — Si le point m décrit une ligne de courbure, représentée 

 par g = const, l'un des deux points correspondant à m décrit, sur la sur- 

 face des ondes, une conique sphérique : le rayon de la sphère est g. 



En d'autres termes : 



Le cône G, dont les génératrices, passant par le pôle, sont parallèles 

 aux normales à l' ellipsoïde E, menées en tous les points d'une ligne de 

 courbure, coupe, suivant une ligne sphérique, l'une des nappes de la sur- 

 face des ondes : le rayon de la sphère est le paramètre de U hyperboloïde 

 sur lequel la ligne de courbure est située (*). 



II. Remarque. — Les paramètres g, h, et la distance v, satisfont à 

 la relation 



vgh = abc{**); 

 par conséquent 



abc 



OH — 



vg 



quand le point m décrit une ligne de courbure, le rayon vecteur OH 

 varie en raison inverse de la distance du centre au plan langent en m; 

 et le point H décrit une conique ellipso'idique (***). 



13. Considérons l'ellipsoïde E, l'hyperboloïde G et le cône C dont la 

 directrice est la ligne de courbure L, intersection dé E et de G. Les 

 équations de ces surfaces sont, respectivement : 



(*) Cette proposition com|)lète, nous semble-t-il , ce théorème de M. Mannheim : a Sur la 

 surface, de l'onde (So) dérirant de E, la transformée d'une ligne de courbure de celte surface est 

 telle que les normales à (S„) issues des différents points de celte ligne sont respectivement perpen- 

 diculaires à des diamètres de (So) égaux entre eux. » {Congrès du Havre.) 



(**) Mélanges, p. 262. 



(***) Le second théorème est d(j à Lamé. {Mémoire sur une tram formation .. . p. 57.) 



