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MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Soient Ne , N^ , Ne les trois nonnales, 

 au point m. En désignant par p la distance 

 du centre au plan tangent, en m, à l'hy- 

 perboloïde, on trouve : 



V 



COS (Ne, Ne) = 



4v'' + 



f 



COS (Nff, Ne) = — 



Fig. 4. 



Prenons, pour plan de la figure, celui 

 qui est normal, en m, à la ligne de courbure. Supposons le centre 

 projeté, en n et en k, sur les normales Ne , Ne : mn = u, mk = p. 

 Si l'on achève le rectangle, on a 



COS imk = 



COS imn = 



donc la normale Ne, au cône, est perpendiculaire à ini. 



14. Cette simple remarque donne lieu au théorème suivant, qui 

 complète une proposition donnée par Lamarle (*) : 



1" Si, par le centre 0, Von mène des plans P, parallèles aux plans 

 tangents à l'ellipsoïde, en tous les points d'une ligne de courbure L, 

 le cône C, enveloppe des plans P, coupe r ellipsoïde suivant une ligne 

 sphérique : le rayon de la sphère e.it le paramètre g de niijperboloide 

 sur lequel la ligne L est située ; 



2° La génératrice de contact, entre le plan P et le cône, est parallèle à 

 la normale N^ à V hyperholoide (**) . 



(*) <t Si du centre o da (K) on mène dea plans parallHes aux plans tangnUs à cette surface 

 menés des différents points d'une ligne de courbure [m], ces plans enveloppent un cône du 2' 

 degré qui coupe (E) suivant une ligne sphérique. » (Mannheim. Congrès du Havre]. 



{**) M. Mannheim a déduit son théorème du théorème de La:iiarle. Du reste, les deux prnpo- 

 sitions n'en font réellement qu'une, si l'on fait attention au lemmê suivant : 



Soient une surface développable £, et un cône v,, ayant leurs génératrices respectivement paral- 

 lèles. Soient, sur ces deux surfaces^ L, L, les trajectoires orthogonales des génératrices .• les tan- 

 gentes MT, M,T,, en deux points correspondants, sont parallèles. 



