A. MANNHKIM. — SUR LA SUHFACE DE l'oNDE 65 



m n, a le point où le plan o m n touche (N) et b le point où le même 

 plan est normal à cette surface. Aux points c et d correspondent les 

 points c' et d' tels que Tangic c' a d' est droit, puisque les plans 

 tangents en c et d sont les plans des sections principales de (E). Les 

 angles x a c, x ad' que ces plans font avec le plan de la figure sont 

 je suppose connus. La droite c' d' est alors la droite auxiliaire. Mais, j'ai 

 démontré à Nantes que pour une normalie (N) les plans tangents en a 

 et h étant à angle droit, l'angle boa est droit aussi ; par suite la droite 

 c d', qui doit être telle que o a et o b interceptent sur cette droite un 

 segment vu du point a sous un angle droit, est perpendiculaire 

 h oa. 



Pour construire la droite auxiliaire correspondant à une normalie (N) 

 nous devons alors inscrire dans l'angle c o c^ un triangle rectangle 

 c a d' tel que l'hypoténuse soit perpendiculaire à une droite o a qui 

 partage l'angle droit c a d comme le plan o m n partage le dièdre 

 droit formé par les plans des sections principales de (E). Ceci revient 

 à dire que les angles aigus du triangle c a d sont connus. 



Pour effectuer les constructions, prenons un triangle rectangle sem- 

 blable au triangle c' a d, et décrivons sur son hypoténuse un segment 

 capable de l'angle c ad. 



La circonférence qu'on trace pour cela rencontre la hauteur du trian- 

 gle rectangle en deux points qui correspondent aux deux positions que 

 peut occuper dans l'angle cod le triangle demandé. On arrive de cette 

 façon à deux solutions qui donnent les droites o a, oa. 



Nous avons une figure analogue à celle qu'on doit ainsi tracer en 

 circonscrivant une circonférence au triangle c o d et en joignant les 

 points c et d' au point o ou o a rencontre cette circonférence : la droite 

 a occupe, par rapport ;\ l'angle formé par d' o et c'o' la position de o a par 

 rapport à l'angle cod. Il résulte de là que l'angle aoc est égal à l'angle 

 o'c et par suite que oa est une tangente à la circonférence o c'd'. 



Chacune des droites o a, o a, auxquelles nous sommes ainsi conduit , 

 correspond à une normalie (N). Ces normalies touchent le plan de la 

 figure en a et en a. 



En se reportant à ce que j'ai démontré à Nantes on peut ajouter que 

 les droites o a, aa rencontrent 7n,n aux points b' et b^ qui sont les 

 centres de courbure principaux de la surface de l'onde. La construc- 

 tion des droites oa, oa que nous venons de donner conduit donc à la 

 construction des centres de courbure principaux de (So). 



La figure, que nous avons tracée pour déterminer les droites o a, o a, 

 donne immédiatement quelques propriétés de. ces centres de courbure, 

 ainsi qu'on va le voir. 



L'angle c o a et l'angle d c' o sont complémentaires. Mais ce dernier est 



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