72 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE' 



dz 



(9) 



„ dx 



L, = z — r 



ds 



et le problème se trouve analytiquement résolu. 



Il est facile de reconnaître (}ue la courbe gauche (BE, B'E') ainsi 

 tracée, c'est-à-dire le lieu des points (ç,-/), C), touche au point (N, N') le 

 solide de révolution auquel elle doit fournir un appui. Suivons dans ses 

 positions successives le solide de révolution quand on fait décrire à son 

 centre M la courbe OA, tout en maintenant son axe normal au plan ZOX. 

 Dans ce mouvement, qu'on peut, pour plus de simplicité, réduire 

 à une translation, la surface du corps enveloppe une certaine surface S, 

 et le contact du corps avec sa surface-enveloppe a lieu dans chacune 

 de ses positions suivant la méridienne (MNHi, S'iN'H'j) qui se projette 

 verticalement sur la normale MN au chemin décrit par le point M. Le 

 lieu des points (N,N'), c'est-à-dire la courbe (BE, BE'), appartient donc 

 à la surface-enveloppe des positions successives du solide, et, par 

 suite, la courbe touche en tous ses points la surface extérieure du 

 solide. 



Les constructions faites sur la figure 8 montrent comment le pro- 

 blème du tracé des rails peut s'achever graphiquement, dès qu'on con- 

 naît, au moyen de l'équation (7), les valeurs de la distance r = MN. 



La durée de l'oscillation simple du solide roulant ou, ce qui revient 

 au même, la durée de l'oscillation simple du point M, est égale à 



^.f 



2A 



elle ne dépend que de la constante A, qui entre comme arbitraire dans 

 l'équation (7). En faisant varier A, on pourra donc faire varier T entre 

 certaines limites. 



Mais la solution comporte quelques conditions restrictives. Le rayon 

 de roulement, r, doit rester compris, par exemple, entre les valeurs 

 extrêmes des rayons du solide ; r ne peut excéder le plus grand rayon 

 MH. Il faut aussi que l'inclinaison de la surface de roulement ne soit 

 nulle part assez prononcée, pour que le solide de révolution, abandonné 

 à lui-même, puisse glisser, au lieu de rouler, sous l'action de son 

 propre poids. 



APPLICATION AU CERCLE. 



Supposons que la courbe OA soit un cercle de rayon GO =a (tig. 8). 

 Prenons pour solide de révolution un double cône droit à base circulaire, 



