A. LAISAiNT. — SUR LA CINÉMATIQUE DU PLAN 83 



d\v dw 



,,_> dt dt , . c 



17) = \- i -Y 



w w r^ 



Donc 



08) f, = ^, 



expression importante du rayon de courbure cherché. 

 Si l'hodographe est circulaire, on peut écrire 



(49) V = ae" + bt^. 



On conclut do là que w est perpendiculaire à e^, et que v peut se mettre 

 sous la forme 



(20) V = ae — ibt . 



Identifiant avec l'expression (13) on trouve, par l'égalité des parties imagi- 

 naires 



c 



(21) r — 



a sin (a — 6) — b 



Donc la trajectoire est une conique. 



La proportionnalité des aires et des temps peut se généraliser pour un mou- 

 vement quelconqne. Appelant a l'aire décrite, XH la vitesse, XK l'accélération, 

 on a 



-^ = aire OXH, 4ï = aire OXK, 



dt df ' 



et OXK est nulle seulement pour une accélération centrale. 



Accélérations des divers ordres. 



Soient Wj, Wj, W3,... les accélérations successives d'un point mobile; si 



nous posons v = v£ , nous pourrons écrire, en décomposant l'accélération 

 Wp suivant la tangente et la normale, 



(22) Wp= iiVt,p-\- iiou.p) s^, 



puis, en prenant la dérivée 





tf. 



Donc 



(24) iOt,p^i = -~^ ^n,p-y, (2S) iv„,p + 1 = ^'^^' ^ + ^o,,p^y 



formules permettant de construire sucessivement les accélérations des divers 

 ordres. Dans ces expressions, on pourra remplacer les dérivées successives 

 de p par des quantités contenant les rayons de courbure des développées suc- 

 cessives, car 



dpp V 



-HT -Pp^* — 



en appelant pp le rayon de courbure de la p ^'^ développée de la trajectoire. 

 Pour la suraccélération, il vient 



