GILBERT. — RÉDUCTION DES FORCES CENTRIFUGES COMPOSÉES 89 



( ?^ = 2m {ppi + qqi + rr^) x —'im p (p^ x -^ q, y -\- i\ s), 



(1) cpy = 2w (pp^ + 99, -f rr^) y —'îlmq {p^x -^ q^y ^ 1\ z), 



( cpz = 2m (p/>i + qq^ + rrj s — 2m r (p, x -|- 9, t/ + r^ 3). 



Ces formules donnent facilement la solution du problème. rV'terniiiions 

 d'abord la résultante <I> des forces centrifugées composées pour tous les 

 points du corps. Soient M la masse de celui-ci, Xi, t/,, z^, les coordon- 

 nées de son centre de gravité G, p la distance G, wiOi et w^p les 

 angles que fait la direction Ri avec OR et OG. Les équations (1) jointes 

 aux relations connues <I>ir := S cpa; , etc., donnent 



[ <î>a; = 2Mu)i (o) X^ COS lOW, — p p COS (i)jp), 



(2) I *Py = 2M(i), (w y^ COS 0)0), — 7 p COS o)jp), 



( <I)s =: 2Mo>, (o) 5, COS 0)0), — r p cos o),p). 



On déduit de là ce résultat signalé par M. Résal, que la résultante <ï> 

 se confond en grandeur et en direction avec la force centrifuge com- 

 posée du centre de gravité G dans lequel toute la masse serait réunie. 

 Mais en outre, si l'on porte à partir de 0, sur les directions OG et OR 

 respectivement, des longueurs 



OA = 2Mtûo),p cos 0)0),, OB =: 2Mo)o),p cos o)'p, 



les formules (2) montrent que OA est la résultante de <ï> et de OB, et 

 l'on a la construction suivante : 



Prenons à partir du point fixe 0, sur l'axe OR, de la rotation d'en- 

 traînement, une longueur OG égale à 2Ma)o),p ; projetons le point G sur 

 OR en A ', sur OG en B ', et rabattons les points A ' et B' sur OG et OR 

 respectivement, en A et B. La droite BA figurera, en grandeur et en di- 

 rection, la résultante ^ des forces centrifuges composées du corps. 



On déduit de là, en particulier, que si G est sur Taxe OR, ou si l'axe 

 de la rotation relative passe par le centre de gravité du corps, la résul- 

 tante des forces centrifuges composées s'évanouit; en dehors de ce cas, <î> 

 ne peut être nul que si OA; OB sont nuls, c'est à dire si l'axe de la 

 rotation d'entraînement est normal au plan passant par l'axe OR et par 

 le centre de gravité G du corps, etc., etc. 



Les équations (2) conduisent aussi à la relation 



<I>^ = — 2Mo)o),p sin o)p sin ojo), cos r,, 



<I>^ désignant la projection de ^ sur l'axe OR, o)p l'angle ROG, t) l'an- 

 gle compris entre les plans ROG, ROR,. Si donc T représente le volume 

 du tétraèdre qui a pour sommets les points 0, G, R, R,, on trouvera 

 sans peine la relation simple 



^„ = — 42 MT cot 73. 



