98 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



c'est-à-dire en réunissant les termes équidistants des extrêmes 



On obtiendrait de même pour l'équation générale des surfaces de degré 

 m anallagmatiques par rapport à la sphère 



X' + y' -h ^' = R' 

 l'équation : 



^^^— L -J «1—2/1+'^ 



L'on voit bien par là que k représente le degré de multiplicité des 

 points cycliques ou du cercle de l'infini, et l'on a ce théorème : 



Da7is toute courbe ou surface algébrique anallagma tique, le degré de 

 multiplicité des points cycliques ou du cercle de l'infini est égal a.u nombre 

 des couples de points correspondants situés sur toute droite issue du pôle. 

 Il ne subit même pas d'exception si, p étant égal à m, k devient nul, 

 auquel cas la courbe se compose d'un faisceau de droites et la surface 

 d'un cône ayant le pôle pour sommet. Car, sauf pour les droites dont se 

 compose le lieu et pour lesquelles le nombre des couples est indéterminé, 

 sur toute droite issue de l'origine ce nombre est égal à zéro. 



L'on voit à l'inspection de ces équations quelles sont les conditions 

 nécessaires et suffisantes pour qu'une courbe ou une surface algébrique 

 soit anallagmatique et on peut énoncer le théorème suivant : 



Pour qu'une courbe ou une surface algébrique de degré m soit anallag- 

 matique, il faut quelle passe par les points cycliques ou par le cercle de 

 l'infini. Il faut en outre, en désignant par k le degré de multiplicité de ces 

 points ou de ce cercle, qu'elle ait un point multiple d'ordre m — 2k, dont 

 les polaires successives par rapport à la courbe soient telles que deux po- 

 laires complémentaires quelconques (l'une d'ordre h, l'autre d'ordre m — h) 

 nient, à l'exception des points cycliques ou des points situés sur le cercle de 

 l'infini par lesquels passe celle qui est du degré le plus élevé, les mêmes 

 points il l'infini. 



Ces conditions résultent, la première delà façon dont le facteur œ^+ tj% 

 ou œ^ + if + z"" entre dans l'équation ; la seconde de l'égalité des fonc- 

 tions ûj équidistantes des extrêmes. Elles ne sont pas sulfisantes; il faut 

 en outre qu'à partir du terme du milieu les coefficients de ces fonctions 

 croissent en progression géométrique. Celte dernière condition paraît 

 échapper à une interprétation géométrique ; mais à ce point de vue, 

 l'on peut ajouter que, lorsqu'elle sera remplie, 2 (m — k) des tangentes 

 que l'on peut mener à la courbe par le point multiple deviendront égales 



