PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 99 



à la raison R* de cette progression. Le cercle d'inversion a en effet pour 

 centre le point multiple et pour rayon la racine carrée R de la raison. 

 Il coupe la courbe en 2 (m — k) points à distance finie, chacun desquels 

 est à lui-même son conjugué puisqu'il est sur le cercle d'inversion, donc 

 les droites qui les joignent au centre sont tangentes à la courbe en ces 

 points. 



La courbe, ayant un point multiple d'ordre m — 2yt et deux points 

 multiples d'ordre k, sera en général de classe 



ou 



m (7n — 1) -- (m — 2A') (m — 2A- — 1) — <2k{k — 1) 

 2/c (2m — Sk) 



Le nombre des tangentes qu'on pourra lui mener par l'origine devra 

 être diminué de 2(m— 2A;); et si l'on en retranche les 2(?/i — /.•) pré- 

 cédentes aux points de contact desquelles le cercle d'inversion coupe la 

 courbe à angle droit, il en reste: 



^k (2/n — 3k) — 2 (m — 2^) — 2 (m — k) 



ou 



"2(k— \} (2w — 3/f) 



dont les points de contact ne sont pas sur le cercle d'inversion, mais 

 sont évidemment conjugués deux à deux, de telle sorte qu'en réalité leur 

 nombre se réduit de moitié et ce -sont des tangentes doubles. Ainsi : 



Dans Vanallagmatique générale (6), 2 (m — k) des tangentes que Von peut 

 mener à la courbe par le point multiple sont égales au rayon du cercle 

 d'inversion qui coupe la courbe orthogonalement en chacun de leurs points 

 de contact ; de plus, le point multiple, centre du cercle d'inversion, est le 

 point de concours de (k ~ i) (2;/i— 3A) tangentes doubles dont les points 

 de contact sont deux à deux des points conjugués de Vanallagmatique. 



S'il s'agit d'une surface les résultats seront analogues; le cône ayant 

 pour sommet le point multiple et pour base la courbe [de degré 2 {m —k)] 

 d'intersection à distance iinie de la surface et de la sphère d'inversion 

 sera circonscrit à la surface, laquelle sera ainsi coupée à angle droit par 

 la sphère en chacun des points de contact. Il y aura en outre un cône 

 de même sommet, dont le degré sera : 



(/f— l)(2w — 3it) 



et dont toutes les arêtes seront des tangentes doubles de la surface à 

 points de contact conjugués, 



