100 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



II. — ESSAI DE CLASSIFICATION DES COURBES ET SURFACES ALGÉBRIQUES 

 ANALLAGMATIQUES. 



Les équations générales (6) et (7) renferment deux indéterminées m 

 et k dont la considération peut donner lieu à deux classifications des 

 courbes ou surfaces algébriques anallagmatiques. 



En premier lieu ; pour un degré donné m, le degré de multiplicité du 

 pôle étant égal à m — 'ik, il y aura autant d'espèces de courbes ou 

 de surfaces anallagmatiques du degré considéré qu'il y a d'entiers de 



même parité que m et inférieurs à m, y compris zéro, c'est-à-dire -^ 



in — 1 

 SI m est pair, et — - — si m est impair. 



Supposons d'abord m = 2. On ne peut donner à /i que la valeur 



1, et réquation générale des courbes anallagmatiques du second degré 

 devient » 



(a-+?y^) + '},(a-,y) + R^ = 



le cercle d'inversion étant le cercle 



X' -f- y' = K* (8) 



C'est-à-dire que ces courbes sont tous les cercles du plan par rapport 

 à tout cercle orthogonal au cercle considéré. On retrouve de même 

 pour l'espace le résultat connu, c'est-à-dire toutes les sphères de l'espace 

 par rapport à toute sphère orthogonale. 



Soit ensuite m = 3. Nous pourrons donner à /.• la seule valeur 1, et 

 l'équation générale des courbes anallagmatiques du troisième degré par 

 rapport au cercle (8) sera : 



(X- + y^) \(x, y) -f ^,(x, y) + R^ <].,(.r, y) = 



L'on voit que la courbe passe par l'origine et que la tangente en ce 

 point est parallèle à l'asymptote réelle ; si donc, étant donnée une cubique 

 circulaire, on veut trouver les centres des cercles d'inversion, il suffira 

 de construire les points de contact des tangentes parallèles à l'asymptote 

 réelle et l'on retombe ainsi sur le résultat connu que. lorsqu'une cubique 

 passe par les points cycliques, elle est anallagmatique par rapport à 

 quatre cercles différents dont les centres sont les points de contact des 

 tangentes menées parallèlement à l'asymptote. 



Dans l'espace, on aurait le résultat analogue et l'on aurait, comme 

 l'on sait, cinq sphères d'inversion dont les centres sont les points de 

 contact des plans tangents parallèles au plan asymptote. 



Soit m = 4. On peut alors donner à k deux valeurs distinctes : 



