PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES \{)l 



k= [ OU A- = 2. L'équation générale des courbes anallaginatiques uni- 

 circulaires du quatrième degré sera : 



{x- + y') Ux, y) + U^, y) + IV <^.(x, y) = 



Elle rentre, comme les deux précédentes, dans une classe générale 

 (l'anallagmatiques que nous avons signalée (*). 



L'origine est un point double de la courbe dont les deux tangentes 

 sont parallèles aux deux asymptotes réelles. 



Réciproquement, toute quarlique passant une fois par les points cir- 

 culaires de l'infini et satisfaisant à ces conditions sera analiagmatique 

 par rapport à un cercle ayant pour centre le point double et pour 

 rayon la longueur commune des six tangentes menées de ce point à la 

 courbe. 



Supposons maintenant k = 2. L'équation générale des quartiques 

 anallagmatiques bicirculaires sera : 



(x^ + yr + (Jc'- + y'} U^, y) + U^, v) 

 + R-^ .].. (X, y) + I^ = 



Ce sont celles qui ont été considérées jusqu'à présent par les diffé- 

 rents auteurs qui se sontoccupés des anallagmatiques du quatrième degré. 

 Réciproquement, étant donnée une quartique bicirculaire, si l'on veut 

 déterminer l'origine de telle façon que son équation prenne la forme 

 précédente, l'on voit facilement que le problème est déterminé. On sait 

 qu'il admet quatre solutions, et nous retrouvons ce résultat connu que 

 les tangentes doubles, dont le nombre se réduit à huit, se partagent en 

 quatre couples dans chacun desquels le point d'intersection des deux 

 tangentes est centre d'un cercle d'inversion. De ce point, on peut mener 

 quatre autres tangentes à la courbe dont les longueurs sont égales 

 entre elles et au paramètre de transformation (I). L'on sait de môme 

 que les surfaces quartiques bicirculaires admettent cinq sphères d'inver- 

 sion et que chacun des cinq centres est le sommet d'un cône du second 

 degré doublement circonscrit à la surface et d'un cône du quatrième 

 degré circonscrit le long de la courbe d'intersection à distance finie de 

 la surface avec la sphère d'inversion correspondante. Il est facile de 

 trouver les équations de ces cônes. Soit, en effet, en posant 



p2 = x^ 4- y* -f c2 



l'équation de la surface rendue homogène par l'introduction d'une 

 nouvelle variable l; soit de même 



p» = RM* 



(•) C.mptes rendu» de l'Académie des sciences, séance du 23 septembre 18T8, p, *60. 



