102 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



l'équation de la sphère d'inversion. L'équation du cône ayant son som- 

 met à l'origine, et dont la base est la courbe d'intersection à distance 

 finie de ces deux surfaces, s'obtiendra par l'élimination de t entre leurs 

 équations, ce qui donne 



ou, en élevant au carré, après avoir multiplié par — -- 



P 



Pour avoir l'équation du cône du second degré doublement circonscrit 

 à la surface, soient 



X y . ■ 



cos a cos [i cos Y 



= P 



les équations d'une droite issue de l'origine; les valeurs de x, y, % 

 tirées de ces équations et substituées dans celle de la surface, donnent 

 l'équation du quatrième degré en p, 



p* -}- p3 i];j(cosa, cosp, cosy) -f- p*'|/2(cosa, cosp, cosy) 

 -|- R^ p 'J>i(cosa, cosp, cosy) -}- R* = 



Pour que la droite soit doublement tangente, il faut que le premier 

 membre de cette équation soit un carré parfait ; l'une des deux condi- 

 tions qui doivent être remplies pour cela est satisfaite d'elle-même, 

 l'autre est 



\ 



^sj(cosa, cos S, cosy) = 2R^ -] — 'jyffcosa, cosp, cosy) 



4 



ou bien 



4']/2(cosa, cos (â, cosy) — •i>^(cosa, cosp, cosy) — SR'^ = 



Remplaçant cos a, cosp, cosy par — ,—,—, on aura l'équation 



P P P 

 cherchée, 



AU^, y, z) - '\\{x, t/, ^) - 8R^p' = 



Comme vérification, le cône passant par la courbe d'intersection de 

 la surface avec la polaire de l'origine, doit se composer du premier 

 cône et de deux fois le second. 



L'équation homogène de cette polaire peut s'écrire : 



p^.];i + 2'j/,^ + 3R^^, f2 _^ 4R*i=' = 



Multipliant l'équation de la surface par 4, et retranchant la précédente 

 multipliée par t, il vient 



4p* 4- Sp^'i^i^ + 24-2^' -h R''K^' = 



