PIGQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 103 



Éliminant enfin t entre ce& deux équations du troisième degré sui- 

 vant les méthodes connues, il vient, en divisant par 4 R^ p\ 



3'K- — ^'h 'h (h — 6R^p^-) 



.16R-^P^ >}, (•}, -6R^p'^) 



1^1 • 



,^2 _ 16 RV' 



.]., (.--,- 6 R^p^) 



Ce déterminant est de la forme 



et se réduit, conséquemment, à (a — c) [rf (a -j- c) — 2 6^^]. 

 Or a — c est précisément égal à 



2 (■fï-4'K+8R^p^) 

 et l'on vérifie immédiatement que l'autre facteur est égal à 



2 (.].^-,4.|., + 8R^p^) [(2R^p"- + .|,f- 4R'^p^ff] 



de telle sorte que le premier membre de l'équation du cône se décom- 

 pose suivant les facteurs prévus. 



Soit maintenant m = 5 ; nous trouvons deux anallagmatiques du cin- 

 quième degré : pour /i; == 1 , les anallagmatiques unicirculaires 



[x^-^^f) .^3 + 'K + R^^3 = o 



qui ont un point triple et dont les trois tangentes en ce point sont pa- 

 rallèles aux trois asymptotes différentes des droites isotropes. Réciproque- 

 ment, toute quintique unicirculaire satisfaisant à ces conditions est anal- 

 lagmatique par rapport à un cercle ayant pour centre le point triple et 

 pour rayon la racine carrée du rapport de l'ensemble des termes de 

 degré inférieur au multiplicateur de {x"^ -\- y"^) dans les termes du cin- 

 quième degré. Il en est de même pour les surfaces quintiques unicir- 

 culaires. 



qui ont un point triple et pour lesquelles le cône du troisième degré 

 tangent en ce point passe par les points à l'infini de la surface qui ne 

 sont pas sur le cercle de l'infini. 

 Pour k = 2, on obtient les quintiques anallagmatiques bicirculaires 



(^. + if Y .}, + {oc^ + if) 'h, + 'Y, -f R'^ 'h, + R-' 'K = 

 pour lesquelles le centre d'inversion est^ sur la courbe, l'un des points 

 de contact des tangentes parallèles à l'asymptote réelle. Réciproquement, 

 toute quintique bicirculaire rapportée à un tel point a pour équation 



{x-^ + ff '\, + ix"- + y-) ^, + .f 3 + A + R* 'K = 



