104 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Pour qu'elle soit anallagmatique, il faudra que f^ et R'^ 'h^ soient iden- 

 tiques, ce qui exige trois conditions, et lorsqu'elles seront remplies, six 

 des tangentes menées à la courbe par le centre d'inversion seront 

 égales à R, tandis que les huit autres s'accoupleront pour former quatre 

 tangentes doubles sur chacune desquelles les points de contact seront 

 conjugués. De même pour les surfaces quintiques bicirculaires, l'un des 

 points de contact des plans tangents parallèles au plan asymptote pourra 

 être centre d'inversion moyennant quatre conditions, et alors le cône 

 circonscrit de ce point à la surface se décomposera en un cône du 

 sixième degré 



[2R^p^.f, + .f3?-4R^p^.}i=:0 



et en un cône du quatrième degré deux fois, c'est-à-dire doublement 

 tangent 



On obtimt ces équations en remplaçant dans celles qui sont relatives 



aux quartiques bicirculaires •!>, par --^ et 'L.^ par — . 



?i Yi 



Eniin, examinons encore le cas oîi m = 6 qui présente trois espèces 

 d'anallagniati([ues. 



Pour /i = 1, on a les scxtiques uni(Mrculair(3s 



(a,. _}_ y^) ,1,^ + ,1.^ 4- R^ .1.^ = 

 à point quadruple pour lequel les quatre tangentes sont parallèles aux 

 asymptotes différentes des droites isotropes. Devant revenir plus loin 

 sur les anallagmatiqaes unicirculaires, nous ne nous y arrêtons pas. 



Pour k = ^, on a les courbes 



(x^ + yr 'h + 0^-' + y) '^ + 'K + ^' h + 1^^ 'f. = 



qui sont bicirculaires et dont le centre d'inversion est aussi un point 

 double. Les deux tangentes en ce point passent par les deux points de 

 la courbe à l'infini différents des points cycliques ; huit des tangentes 

 menées à la courbe de ce point sont égales au rayon R; il y a de plus 

 six tangentes doubles à points de contact conjugués, issues de ce point. 

 De même pour les surfaces : indépendamment du cône tangent au point 

 double qui passe par la conique à l'infini de la surface différente du 

 cercle de l'infini, on peut lui circonscrire de ce point un cône du 

 huitième degré, le long de la courbe de contact duquel la sphère d'in- 

 version la coupe à angle droit, et un cône du sixième degré, double- 

 ment tangent. Le premier a pour équation 



(2R^p^']>, + .K)^ -4RV^'!'5 = 

 et le second 



,1^ — 4-]/2'K 4- 8R^p^'i>| = 



