PICQUET, — SUn LES COUaCES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES lO.'i 



Enfin pour k = 3, on a les sextiques tricirculaires 



(x^ + yr + (•^•' + yr 'h + (oc-- + 1) 'h + ■h + R^ 'W 



+ Pv'^ 1. + 1{« = 



pour lesquelles le centre d'inversion est en dehors de la courbe. Réci- 

 proquement, toute sextique tricirculaire sera de la forme 



(x^ + ii-Y + (.T^ + xfY- .].. + ix:' + f-) I, + .1., 4- /, -I- /; -f R« = 



et devra satisfaire à cinq conditions pour être anallagmati({uc par 

 rapport à un point donné. Si l'on élimine entre ces conditions les coor- 

 données du point, il n'en restera plus que trois : lors({u'elles seront 

 remplies, six des tangentes menées à la courbe par le centre d'inver- 

 sion seront égales à R; il y aura de plus six tangentes doubles, à point 

 de contact conjugués, issues de ce point. De même une surface sextique 

 tricirculaire pourra être anallagmatique moyennant six conditions et 

 alors le cône circonscrit du centre d'inversion se décomposera en un 

 cône du sixième degré 



AW-f- (R'^p'^ + 1,)"- - (-2RV-i^i + 'K)'^ = 

 et en un cône de même degré doublement circonscrit. 



L'on peut, en second lieu, faire une classification des courbes et 

 surfaces anallagmatiques fondée sur le degré de multiplicité k des 

 points cycliques ou du cercle de l'infini. Pour ne pas parler du cas où 

 ce degré est nul et où, comme nous l'avons vu, la courbe se compose 

 d'un faisceau de droites tandis que la surface se réduit à un cône, on 

 aura pour /î = i, les anallagmatiques unicirculaires 



Nous avons déjà signalé (*) cette espèce d'anailagmatiques qui se 

 définit géométriquement de la façon la plus claire, et nous avons remar- 

 qué plus haut que, tandis que toutes les anallagmatiques du second et 

 du troisième degré rentrent dans cette catégorie, elle donne lieu à une 

 nouvelle espèce d'anailagmatiques du quatrième degré. En général, ces 

 courbes sont définies par la propriété d'avoir un point multiple d'ordre 

 m — 2 qui est le centre d'inversion, dont les m — ^1 tangentes passent 

 par les m — 2 points à l'infini sur la courbe difterents des points 

 cycliques, d'une façon analogue, pour les surfaces. Réciproquement, si 

 ces conditions sont remplies, la courbe ou surface est une anallagma- 

 tique unicirculaire, ayant pour centre d'inversion le point multiple et 

 pour rayon d'inversion la racine carrée du rapport de l'ensemble des 

 termes d'ordre inférieur au coetficient de (x* -f- tf) ou de [x- -\-y'^ -\- z"-) : 

 le cercle ou la sphère d'inversion coupe orthogonaleraent la courbe ou 



(*) Comptes rendus de l'Académie des sciences. Séance du 23 septembre 1878, p. 460. 



