PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 107 



ces points vont concourir respectivement aux deux points à l'infini sur 

 la courbe différents des points cycliques, ce qui paraît possible puisque 

 de chaque point de la courbe on peut lui mener quatre tangentes. 



III. — Recherche de la déférente. 



Dans l'étude qui va suivre, nous dirons que la quantité k, qui est en 

 même temps le degré de multiplicité des points cycliques ou du cercle 

 de l'infini, et le nombre des couples de points conjugués situés sur toute 

 droite issue du pôle, est l'indice de l'anallagmatique. 



On sait(*) que toute courbe ou surface anallagmatique peut être 

 considérée comme l'enveloppe d'une série de cercles ou de sphères 

 coupant orthogonalement le cercle ou la sphère d'inversion et dont le 

 centre décrit une courbe ou une surface qu'on appelle la déférente (^**) . 

 Proposons-nous de trouver la classe et le degré de la déférente de 

 l'anallagmatique générale du degré m et d'indice k. A cet effet, nous 

 démontrerons d'abord le théorème suivant : 



Le lieu des milieux des segments interceptés sur une droite issue du 

 pôle par deux points correspondants est une courbe ou une surface de 

 degré m dont le pôle est point multiple d'ordre m — k et passant k fois 

 par les points cycliques ou par le cercle de l'infini. 



Considérons, en eff'et, sur la droite variable, le lieu des couples de 

 points conjugués harmoniques à la fois par rapport aux points d'intersec- 

 tion de la droite et du cercle d'inversion et par rapport aux points d'inter- 

 section de la droite avec la conique formée par une droite fixe D et la 

 droite de l'infini. La droite variable tournant autour d'un point fixe, 

 on sait que ce lieu est une cubique passant par le point fixe qui est le 

 pôle, et par les points d'intersection des deux coniques dont deux sont 

 les points cycliques. Cette cubique coupe l'anallagmatique donnée en 

 3m points, dont m — 2/1; sont confondus au pôle, puisque tel est pour 

 cette dernière le degré de multiplicité du pôle, et dont 2 k sont les 

 points cycliques, puisque k est le degré de multiplicité de l'un d'eux. 

 Il en restera donc 2m : soit A l'un do ces points. D'après la défini- 

 tion de la cubique, le conjugué harmonique A' de ce point, sur la 

 droite qui le joint au pôle, par rapport aux deux points d'intersection 

 de cette droite avec le cercle d'inversion, est aussi sur la cubique. 

 D'après cette même définition, le milieu du segment AA' est sur la droite 

 D; d'après la définition de l'anallagmatique, le point A étant sur cette 

 courbe, elle renferme aussi le point A'. Donc les 2m points d'intersec- 



(*) Moutard (Ihid. \>. 6t!). 



(•*) De la Gournerie. — Sur les lignes spiriques {J. de Liouvitlc, 1869, p. 37). 



