i08 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



lion restants sont répartis en m couples de points correspondants de 

 raiiallaginatiq-ue et dont les milieux sont sur la droite D, qui a, par 

 conséquent, m points d'intersection sans plus avec la courbe lieu des 

 milieux, laquelle se trouve dès lors être de degré m. D'ailleurs sur 

 toute droite issue du pôle, il y a Â: couples de points correspondants; 

 il n'y a donc que k points du lieu distincts du pôle, lequel sera consé- 

 quemment point multiple d'ordre m — h. Pour ce qui est du degré de 

 multiplicité des points cycliques, on voit que la droite variable passe k 

 fois par chacun d'eux, lequel, pour chacune de ces positions, appar- 

 tient évidemment au lieu. 



Le raisonnement serait identique pour l'espace et pourrait d'ailleurs 

 s'établir pour tous les cas analytiquement avec la plus grande facilité, 

 par le calcul qui sert à abaisser au degré sous-double l'équation réci- 

 proque de degré pair suivant le module R. 



Cela posé, pour trouver la classe de la déférente, rappelons que cette 

 courbe peut encore être considérée comme l'enveloppe des perpendicu- 

 laires élevées sur la droite qui joint deux points correspondants au mi- 

 lieu de ces deux points. Les tangentes menées à cette courbe par un 

 point P du plan seront donc, parmi toutes les droites qui joignent ce 

 point à tous les points de la courbe lieu des milieux, celles qui sont 

 perpendiculaires au segment qui joint les deux points correspondants 

 dont un point de cette courbe est le milieu, et leurs pieds sur ces seg- 

 ments s'obtiendront par conséquent en cherchant les points d'inter- 

 section de la courbe lieu des milieux avec le cercle ayant pour diamètre 

 la droite qui joint le point P au pôle. Ces points sont en nombre égal 

 à 27u; mais il y en a m — k confondus au pôle et 2 A: confondus avec 

 les points cycliques. 11 en reste donc m — k et telle est la classe de la 

 déférente. 



Cette courbe a d'ailleurs m — 2 A- contacts avec la droite de l'inlini 

 qui correspondent aux m — 2/*; positions de la droite variable pour les- 

 quelles elle est parallèle aux asymptotes différentes des droites isotropes. 

 Elle ne saurait avoir d'autres tangentes multiples. 



D'après les formules de Pliicker, son degré sera donc égal à : 



[m—k] (m— A- — 1) — im—^k) (m— 2/.- — 1), ou : k (2m — 3/: — 1). 



On peut donc énoncer ce théorème : 



La courbe déférente de l'anallagmatique générale de degré m et d'indice 

 k est U7ie courbe de classe m — k et de degré k (2m — 3k — \) ayant 

 m — 2 k contacts à l'infini. 



Dans certains cas particuliers, cet énoncé pourra subir des excep- 

 tions : si, par exemple, deux branches de l'anallagmatique sont tan- 



