110 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Remarquons tout d'abord que si l'on transforme homographiquement 

 la transformation par rayons vecteurs réciproques, on obtient une nou- 

 velle transformation à laquelle M. Hirst a donné le nom d'inversion qua- 

 drique (*) et qui consiste, sur tout rayon vecteur OM, issu d'un point fixe 

 0, à prendre le conjugué harmonique du point M de la courbe par rap- 

 port aux deux points d'intersection du rayon avec une conique fixe. Si 

 une courbe est anallagmatique, sa transformée horaographique ne change 

 pas si on lui fait subir l'inversion quadriquepar rapport à la conique trans- 

 formée homographique du cercle d'inversion ; nous dirons alors que cette 

 conique est pour la courbe une conique d'anallagmasie, ainsi que nous 

 l'avons déjà fait dans un précédent travail (**) 



Supposons maintenant que l'on transforme homographiquement une 

 quartique unicirculaire, anallagmatique; on obtiendra la quartique à point 

 double générale, de laquelle on voit de suite que l'on peut énoncer le 

 théorème suivant : 



Les six points de contact des tangentes menées par le point double à 

 ime quartique à nœud, sont sur une même conique. Cette conique est 

 conique d'anallagmasie par rapport au point double pour la quartique. 

 Ses deux autres points d'intersection avec la quartique sont sur la polaire 

 du point double par rapporta elle-même, laquelle polaire va rencontrer la 

 quartique en deux autres points qui sont respectivement les quatrièmes 

 points d'intersection avec la courbe des tangentes au point double. 



Pour vérifier ce théorème et trouver en même temps l'équation de 

 la conique d'anallagmasie, cherchons s'il existe une conique dont l'équa- 

 tion serait 



Ax^ + 2Bxy + Cif 4- SDcc + SE?/ + F = o 



et telle que tout rayon vecteur 



X y 



cos a cos 





issu de l'origine, point double de la quartique, rencontre les deux 

 courbes en quatre points harmoniques. 

 Soit 



<^,{x.y) + ^,{x.y) -\- i^,{x.y) = o 



Téquation de la quartique, décomposée en groupes homogènes ; si l'on y 

 remplace œ et y par leurs valeurs et si Ton divise par pS il vient 



p'' 94(cos a,cos^) + p (p3(cos a, cos p) -f ^^(cosa, cos (S) = o 



(*) On thé quadric inversion of plane curves [ProceedinçjH of theRoijal Society, 1865, p 91). 

 (**) Sur un nouveau mode da génération des surfaces du troisième degré {Uulklin de la Sociitê 

 mathématique de France, t. IV, 1876, p. 128). 



