PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 111 



pour l'équation aux distances à l'origine des deux points d'intersection 

 du rayon vecteur avec la courbe, points différents de l'origine. On a de. 

 même pour la conique 



p2(Acos^a -|- 2Bcosa cosp -f Gcos-[i) -|-2p(Dcosa + Ecosp) -f F = o 



Pour que ces quatre points soient harmoniques, l'on sait d'après une 

 formule connue ([ue l'on doit avoir 



(A cos^a -)- 2 B cosa cosp -|- Ccos'' p) cp2(cosa, cos p) -f Fcp,(cos a, cos P) 

 — (D cos a -)- E cos p) Çafcos a, cos p) = o 



équation du quatrième degré homogène en cos a et cos 3, qui, pour 

 être identique, fournira cinq conditions. Ces conditions seront linéaires 

 par rapport aux paramètres de la conique, qui, dès lors, sera unique et 

 passera nécessairement par les points de contact des six tangentes me- 

 nées par l'origine à la quartique. Dès lors, les deux autres points d'in- 

 tersection de la conique et de la quartique sont évidemment les points 

 de contact des tangentes menées de l'origine à la conique ; enfin, la 

 droite qui joint ces deux points, polaire de l'origine par rapport à la 

 conique, coupe la quartique en deux autres points qu'il est facile de 

 trouver; car, sur la droite qui joint l'un deux à l'origine, ce point et l'ori- 

 gine étant conjugués harmoniques par rapport aux points d'intersection du 

 rayon vecteur avec la conique, il faudra, à cause de la propriété d'anal- 

 lagmasie, que la quartique ait un troisième point à l'origine ; ce qui 

 revient à dire que ces points s'obtiendront en prenant respectivement le 

 quatrième point d'intersection avec la quartique des deux tangentes à 

 l'origine. C. Q. F. D. 



Pour avoir l'équation de la conique, reprenons les notations précé - 

 dentés et soient 



^,{x,y} ~ a^x' 4- b^xhj -f c^xY + d.xif -f- e^y' 



<?Jx,y) = ttsx^ -\- bsxy -{- c,y\ 



Les cinq conditions qui déterminent les paramètres de la conique 

 d'anallagmasie seront alors 



Ce, — Ed, + Fci = 



2Bc3 -f C63 — M, — Ëc, -j-Fd,= 



Ac3 + 2B63 -f Cf/3 — De, — Eb, + Fc, = 



A63 -f 2Ba3 — i)b, — Ea, + F^^ = 



Aas — Da, -f Fa^ = 



