Il4 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Elle est linéaire par rapport aux paramètres de chaque conique, et du 

 second degré par rapport à ceux de la droite. Si donc l'on y considère 

 ces derniers comme variables, l'on peut dire qu'elle représente en coor- 

 données homogènes tangentielles, l'équation de l'enveloppe des droites 

 satisfaisant à la condition demandée. C'est ainsi que l'on voit que cette 

 enveloppe est une conique, et comme les huit tangentes respectivement 

 à chaque conique en leur quatre points d'intersection satisfont à la con- 

 dition, c'est ainsi que l'on peut démontrer que ces huit droites sont tan- 

 gentes à une même conique. 



Si maintenant l'on suppose que la coniqwe C soit la conique variable 

 d'un faisceau ponctuel, c'est-à-dire varie en passant par quatre points fixes, 

 il suffira de remplacer ses coefficients A, B, G, D, E, F, par A^ -|- X A^, 

 Bi -f X Bj. . . ., X étant un paramètre variable; et l'équation tangen- 

 tielle, étant hnéaire en A, B, C, D, E, F, sera linéaire en 1; d'où l'on 

 conclut qu'elle représentera toutes les coniques d'un faisceau tangen- 

 tiel, c'est-à-dire des coniques tangentes à quatre droites fixes. D'oîi ce 

 théorème : 



Les coniques, enveloppes respectives des droites qui coupent harmoni- 

 quement une conique fixe et une conique variable d'un faisceau ponctuel, 

 sont les coniques d'un faisceau tangentiel. 

 ou encore 



Il existe quatre droites, réelles ou imaginaires, telles que les points doubles 

 de l'involution déterminée sur chacune d'elles par les coniques d'un fais- 

 ceau pmctuel coïncident avec leurs points d'intersection avec une conique 

 donnée. 



Nous désignerons le faisceau ponctuel par F^,, le faisceau tangentiel 

 par F,; à une conique de l'un correspond une conique de l'autre, et 

 réciproquement; on peut dire qu'ils sont homographiques. Cela posé, 

 prenons un point fixe P; et sur tout rayon vecteur issu de ce point, 

 considérons les deux points de la conique du faisceau F^ qui correspond 

 à la conique du faisceau F^ qui lui est tangente ; le lieu de ces points 

 sera une quartique ayant le point P pour point double et la conique Co 

 pour conique d'anallagmasie. L'on voit en effet facilement, que sur tout 

 rayon issu de P il n'y a en dehors du point P que les deux points qui 

 définissent le lieu, et que le point P est un point double; puisqu'il n'y 

 a qu'une conique du faisceau Fp qui passe par le point P, duquel on 

 pourra mener deux tangentes à ia conique du faisceau F^ qui lui cor- 

 respond, lesquelles tangentes seront les positions du rayon vecteur pour 

 lesquelles le point qui décrit la courbe passera en P, et seront alors les 

 deux tangentes en ce point. L'on voit en même temps que le quatrième 

 point d'intersection de l'une d'elles avec la courbe est aussi sur la 

 conique du faisceau Fp qui passe par le point P. Du moment que le 



