PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 115 



lieu est une quartique, ayant le point P pour point double, en vertu du 

 mode même de description de la courbe, la conique d'anallagmasie est 

 nécessairement la conique fixe Co, et les deux tangentes au point double, 

 tangentes issues de P à la conique du faisceau F( qui correspond à la 

 conique du faisceau Vp qui passe en P, iront passer respectivement, ainsi 

 qu'il a été établi, par les points d'intersection avec la quartique de la 

 polaire de P par rapport à Co, points différents des points de contact des 

 tangentes menées par P à Co. 



La quartique passe par les quatre points, base du faisceau Fp, de sorte 

 que ses huit points d'intersection avec une conique de ce faisceau sont 

 les quatre points base du faisceau Fp et les quatre points du lieu, situés 

 par définition sur les deux tangentes issues de P à la conique du 

 faisceau F^ qui lui correspond. Ces couples de tangentes, étant menés 

 d'un point aux coniques d'un faisceau tangentiel, forment un faisceau 

 en involution dont les rayons doubles sont les tangentes en P aux deux 

 coniques du faisceau F^ qui passent en P. Les tangentes en P à la 

 quartique sont deux rayons conjugués de l'involution, puisqu'elles sont 

 tangentes à une même conique du faisceau Ft, celle qui correspond à la 

 conique du faisceau Fp qui passe en P. 



Deux coniques du faisceau Fp sont doublement tangentes à la quartique; 

 ce sont celles qui correspondent aux deux coniques du faisceau F^ qui 

 passent par le point P : on s'en rend compte facilement en remarquant 

 que les tangentes issues du point P à l'une de ces courbes coïncident. 



Enfin il est facile de déterminer directement les tangentes qu'on 

 peut mener du point P à la quartique. 



Pour cela, il faut considérer le système p des tangentes menées par 

 P aux courbes du faisceau Fp^ et le système t des tangentes menées par 

 P aux courbes du faisceau Fj, et chercher le nombre des coïncidences 

 de deux droites correspondantes, en appelant droites correspondantes 

 deux droites qui sont menées par P tangentiellement à deux coniques 

 correspondantes, l'une du faisceau Fp, l'autre du faisceau F^. Or, à une 

 droite du système p, correspondent deux coniques du faisceau Fp, et à 

 chacune d'elles une conique du faisceau Fj, à laquelle on peut mener deux 

 tangentes du point P; en tout quatre droites du système t qui corres- 

 pondent à la droite du système p. Réciproquement, à une droite du 

 système t, correspond une conique du faisceau Ff, par suite une conique 

 du faisceau Fp, à laquelle on peut mener deux tangentes du point P; 

 donc deux droites du système p qui lui correspondent. En vertu du prin- 

 cipe de correspondance, il y aui-a donc six coïncidences, par suite six tan- 

 gentes issues du point P à la quartique. 



Si l'on veut que la quartique soit anallagmatique, il suffira de prendre 

 pour Co un cercle dont le centre serait le point P; alors elle passera par 



