116 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



les points cycliques, et ses deux autres points à l'infini seront sur les 

 parallèles menées par P aux asymptotes de la courbe du faisceau Fp qui 

 passe en P : si cette courbe est une ellipse, le point P sera un point 

 isolé de la quartique ; si c'est une parabole, ce sera un point de rebrous- 

 sement. 



Réciproquement, toute quartique à point double est susceptible de ce 

 mode de génération d'une infmitéde manières. En effet, si ce mode de géné- 

 ration est possible, nous avons vu que les quatre points, base du faisceau, 

 les quatrièmes points d'intersection a et 6 avec la courbe des tangentes 

 au point double et le point double P sont sur une même conique: fai- 

 sons donc passer une conique quelconque C par les trois points P, a,b; 

 elle coupera la courbe en quatre autres points; cherchons si ces quatre 

 points peuvent servir de base au faisceau ponctuel. Si nous opérons sur 

 ce faisceau avec la conique d'anallagmasie de la quartique prise pour 

 conique fixe Co et avec le pôle P, le lieu obtenu par la méthode qui vient 

 d'être exposée, sera une quartique, ayant, comme la quartique donnée, 

 le point P pour point double; admettant comme elle pour tangentes en 

 ce point les droites Pa et P6, ayant la même conique d'anallagmasie, 

 et passant comme elle par les quatre points, base du faisceau ; ce qui 

 fait en tout quatorze conditions communes, ce qui suffit pour qu'elle8 

 coïncident (*). L'on voit qu'on peut se donner arbitrairement sur la 

 courbe deux des quatre points, base du faisceau; les deux autres s'ob- 

 tiennent en faisant passer une conique par les deux points choisis et les 

 trois points P, a, b et prenant ses deux derniers points d'intersection avec 

 la courbe. Ainsi : 



Toute quartique à point double peut être considérée d'une infinité de 

 façons comme le lieu des points d' intersection des tangentes menées par le 

 point double à la conique variable d'un faisceau tangentiel avec la conique 

 correspondante d'un faisceau ponctuel, homoyraphique au premier et dont 

 les points base sont sur la courbe. 



Si la quartique est anallagmatique, il suffira que la conique passant 

 par les quatre points, base du faisceau, et le point double ait ses asymp- 

 totes parallèles aux directions asymptotiques de la quartique différentes 

 des directions des points cycliques. 



Le théorème direct peut d'ailleurs s'établir par le calcul avec la plus 

 grande facilité. Soient en effet : 



(*) On pourrait objecter que si ces conditions ne sont pas distinctes, les deux courljcs pourront ne 

 pas coïncider. Mais l'on voit que ces condiiions étant linéaires, on pourra, si elles ne sont pas dis- 

 tinctes, se donner un point de la quartique pour achever de la déterminer; prenons ce point sur la 

 conique C, qui a déjà sept points sur la courbe, dont le point double ; elle fera alors partie du lieu, 

 ce qui est impossible parce que le reste de la courbe devrait se composer des droites Pa etPb, 

 lesquelles avec la conique quelconque C, ne forment pas une quartique ayant Co pour conique 

 d'anallagmasie. 



