PICQl'ET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 117 



l'équation d'un faisccnu (1(; coniquos, ot 



celle d'un faisceau de couples de droites en invoiution, issues de l'ori- 

 gine, dans laquelle, par conséquent, A, et Aj sont homogènes du second 

 degré en x et y. Etablissons entre ces deux faisceaux une relation 

 homographique 



aAix + pA-|-y[j,-f-3 = 



et éliminons a et [/. entre ces trois équations, nous aurons le lieu des 

 points d'intersection d'un couple du second faisceau avec la conique 

 correspondante du premier. L'équation du lieu sera 



aAïC, — pAjCi— yAiG2H-SA2C2 = 



qui représente une courbe du quatrième degré ayant l'origine pour 

 point double. 



VI. — Extension des propriétés précédentes aux surfaces du quatrième 



DEGRÉ A directrice REGTILIGNE DOUBLE. 



Digression sur les surfaces du troisième degré. 



Si l'on essaie d'étendre les propriétés précédentes aux surfaces du 

 quatrième degré à point double, on rencontre des théorèmes qui, sans 

 être indignes d'intérêt, n'ont pas la généralité des premiers, vu qu'ils 

 ne s'appliquent qu'à une classe particulière de surfaces du quatrième 

 degré à point double, celles dont le cône tangent au point double a 

 pour base une conique située sur la surface. Mais il est facile de trou- 

 ver des propriétés analogues qui s'étendent à toutes les surfaces du 

 quatrième degré à directrice rectiligne double. 



Si l'on écrit l'équation générale d'une surface du quatrième degré, et 

 si l'on exprime que l'axe des z en est une directrice double, on trouve 

 que, treize termes doivent manquer dans l'équation, et la surface ren- 

 ferme cncai'e vingt et un paramètres arbitraires. Son équation peut 

 s'écrire 



a.i' + Abxhj -{-Gcx^y^ -f- Adxy' + ey' -j-Afy^z-\-6gy^z^ 



-f-6/t2^cc^4- 4/2x3-^ i^mx^yz-]- \'2nxy*z + i'i pxy z^ -\- Agœ^ 



+ \^2rx'y + i^sxy^ +4/i/'^ + iîuy^z-i- i^vzx^ -f ^iwxyz 



+ 6*aj?2-|-6(5i/^-f-l-2yxy = (9) 



Tout plan passant par l'axe des ;; coupera la surface suivant une 

 conicjue,- et l'on peut se proposer de chercher s'il n'existe pas une sur- 

 face du second degré 



Aœ^ -f By» + G 5»+ 2 Ly 5 + 2M zcc -}-4Nœt/ + 2P£C -f- 2Qy 

 -\-^2Rz-\-D = 



