148 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



telle que la section de cette surface par le plan considéré soit harmo- 

 niquement circonscrite à la section de la quartique par le même plan(*). 

 Soit alors 



cos cp sm cp 



l'équation du plan ; si l'on remplace œ et y par leurs valeurs dans 

 l'équation de la quartique, il vient en divisant par p^ 



(« cos*œ -f- 4 & cos'cp sin cp 4- ^ c cos^cp sin^cp -|- 4 rf cos cp sin'cp -\- e sin^cp) p'' 



-\- 4: {l cos^cp + 3w COS29 sin cp -f- 3 w cos cp sin'^cp -\- /'sin^cp) p z 

 (10) -f- 6 (h cos^cp -(- 2 p cos cp sin cp -|- g sin^cp) z^ 



-f 4 (fycos^cp -f- 3 r cos'^cp sin cp -^ 3 s cos cp siii^cp + t sin^'cp) p 



-f- 12 (v cos^cp -f- 2 w sin cp cos cp -f- ''^ sin^cp) z- 



-|- fi (a cos^cp -f- 2 y cos cp sin cp -)- p sin^cp) = 



équation entre p et s qui représente dans son plan la conique d'inter- 

 section du plan et de la quartique. On a de même la courbe d'intersec- 

 tion du plan et de ia quadrique : 



[A cos^ cp -)- 2 N cos cp sin cp -}- B sin'^ cp] p'^ -|- 2 (M cos cp -f- L sin cp) p ;; 

 + Cz2+2 (Pcoscp-f-Qsincp;p+2Rz4-D = (11) 



Si l'on désigne respectivement les coefficients de la première pour 

 rappeler leur degré en cos cp et sin cp par 



Xi (cos 9, sin cp), Xg (cos cp, sin cp), /j (cos cp, sin cp), •]/, fcos cp, sin cp), 

 4'2 (coscp, sincp), (1)2 (cos cp, sincp) ; 



on sait que la condition pour que la seconde courbe soit harmonique- 

 ment circonscrite à la première est la suivante (**) 



(X2W2— ^l) (A cos^cp + 2 N cos cp sincp -f B sin^ cp) -j- (0)2X4—'}^) C 

 + (X4X2-/J) D +2('|^3Z3-X4'WR4-2(x3'|2--X2'W(Pcoscp+Qsin^) 

 -f 2 (^2^3— «2 X3) (M cos cp -I- L sin cp) = (12) 



On voit que cette condition est homogène et du sixième degré en 

 sincp et coscp; si elle doit être remplie quel que soit cp, on aura donc 

 sept relations linéaires par rapport aux coefficients de la quadrique ; ce 

 qui prouve qu'il y a une infinité de surfaces du second degré répon- 

 dant à la question et que ce sont les quadriques d'un réseau (système 

 linéaire de quadriques ayant huit points communs) . 



(*) On sait qu'une conique est Iiarmoniquement circonscrite à une autre lorsqu'elle est circon- 

 sorite à un et par suite à une infinité de triangles conjugués de l'autre conique. Dans les mêmes 

 circonstances, la seconde conique est harmoniquement inscrite à la première, c'est-à-dire qu'elle 

 est inscrite dans un et par suite dans une infinité de triangles conjugués de la première. (Smith, 

 On some geometrical conslruchons, Proceedings of the London mat hematical Society, n» n, p. 85). 



(**) Comptes rendus du Congrès de l Association française pour l'avancement des sciences à Lille, 

 pages 1207 et suivantes. 



