PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 119 



Si l'on exprime que la conique (10) se réduit à deux droites, on a la 



condition 



Xi Xs 'h 



X3 X2 'h 



'h h Wj 



= (13) 



qui est du huitième degré en tgcp et fournira, par conséquent, toujours 

 huit directions, réelles ou imaginaires, même si elle admet des racines 

 infinies. L'on conclut de là que par la droite double on peut mener 

 huit plans tangents à la quartiquc ( '). Dans chacun d'eux on a une 

 conique, réduite à deux droites, harmoniquement inscrite aux coniques 

 d'un réseau; toutes les coniques et par suite toutes les surfaces du ré- 

 seau passent conséquemment par le point d'intersection des deux droi- 

 tes, qui est le point de contact du plan avec la quartique (^ ^). L'on voit 

 par là quels sont les huit points communs aux surfaces du réseau; et, 

 au besoin, il est démontré que les sept conditions auxquelles ces sur- 

 faces sont assujetties sont en général distinctes; car, si elles ne l'étaient 

 pas, ces surfaces formeraient système linéaire d'ordre supérieur au second 

 et n'auraient pas huit points communs. Nous énoncerons donc le théo- 

 rème suivant : 



Si une quartique possède une directrice rectiligne double, les huit 

 points de contact des huit plans tangents à la surface par cette droite 

 sont les huit points communs à trois surfaces du second degré, et 

 déterminent un réseau de quadriques tel que tout plan passant par la 

 droite coupe la quartique suivant une conique harmoniquement inscrite 

 au réseau des coniques suivant lesquelles le même plan coupe les qua- 

 driques. 



Réciproquement, si l'on se donne pour une surface quartique une 

 droite double, et sept des plans tangents passant par cette droite ainsi 

 que leurs points de contact, le huitième en résultera par le théorème 

 précédent et l'on aura trente-quatre conditions linéaires, qui détermine- 

 ront, en général, la surface d'une façon unique. La conique d'intersec- 

 tion de la surface avec un plan quelconque passant par la droite dou- 

 ble sera alors l'une des coniques du réseau tangentiel, contravariant (***) 



(*) On sait plus généralement que si une surface de degré n admet une directrice multiple 

 d'ordre n — 2, on peut lui mener par cette droite 3n — 4 plans tangents (St'iirm, Ueher die Fld- 

 chen mit einer endlichen Zahl, von einfachen Geraden, vorzugsweise die der vierten und funften 

 Ordnung, Mathematische Annalen, t. IV, 1871, p. 249). 



(**) Lorsque la conique harmoniquement inscrite se réduit à deux droites, la conique harmo- 

 niquement circonscrite passe par leur point d'intersection, à moins que les deux droites ne se 

 confondent. 



(***) Doux systèmes de coniques sont dits contr avariants lorsque toutes les courbes de l'un 

 sont harmoniquemcnl circonscrites à toutes celles de l'autre, lesquelles sont, par conséquent, 

 harmoniquement inscrites à toutes celles du premier. L'équation des courbes de l'un on coor- 

 donnéns ordinaires, ci lie des courbes de l'autre en coordonnées langontiilles est linéaire par 

 rapport aux arbitraires dont le nombre total est quatre ; le premier est ponctuel, le second est 



