120 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉfiANIQUE 



du réseau ponctuel déterminé par le plan dans le réseau des quadri- 

 ques qui passent par les huit points de contact. 



Ce sujet nous ramène à un mode de génération que nous avons dé- 

 montré pour toutes les surfaces du troisième degré (*) et sur lequel il 

 est néce.'saire de revenir en vue de l'étude d'une classe particulière de 

 surfaces du quatrième degré à directrice double. Ce mode de généra- 

 tion est le suivant : 



Toute surface du troisième degré peut être considérée comme le lieu de 

 la conique harmoniquement inscrite aux coniques du système linéaire, 

 obtenu en cowpant -par un plan tournant autour d'une droite fixe des 

 surfaces du second degré ayant cinq points communs. La droite fixe est 

 une des vingt-sept directrices de la surface, et les cinq points communs 

 sont les points de contact des cinq plans tangents que l'on peut mener par 

 la droite à la surface. 



Remarquons d'abord que ce théorème peut se démontrer immé- 

 diatement par des considérations analogues aux précédentes. Soit, en 

 effet, 



ax'^-\-3bx^y-\- Scxy'i^dy' + '3ey^-z + 3 fyz"^ -\-Sgz'ix-\- 3 hzx'i-^-Qlxyz 

 -\- 3 mx' +3 ?;)/'- -|- ijp.ry -f- 6 qyz + Grzx -^3sx-\-3 ty =0 



l'équation d'une surface cubique contenant l'axe des z ; si on la coupe 

 par un plan 



X y 



cos cp sin cp ^ 



passant par cette droite, on obtient pour l'équation de la courbe d'in- 

 tersection dans son plan 



(acos^cp-|-3 6cos"^cpsincp-[-3 ccos cpsin-(&-|-rfsin'cp)p^ 

 -|-3(/icos-9-)- 2/coscp sincp-j-esin^cp) pz 

 -|-3(r/coscp-l-/'sin cp) 2--]-(3mcos^cf--j-2j'JCOScpsinŒ/-!-nsin''cp) p 

 -f-6(r coscp-f- q sinç) z 

 + 3 {s coscp + / sincp) = (1 4) 



Désignons les différents coefficients de cette équation, fonctions de cp, 

 par 



'/3(P0Scp, sincp), Xiicos^, sincp), Xi(coscp, sin cp), -j/2,(coscp,sincp), 

 '\>i (cos(p, sincp), Wj (sincp, coscp). 



langontiel : tout système linéaire, soit ponctuel, soil tanL.entiel, admet un système contravarianl. 

 (Voir Smilli, loco citato ,- vo r aussi noire Etude géométrique des systèmes linéaires de coniques, 

 Gautliier-Villars, 1872, et i.otre mémoire déjà cité, comptes rendus du Congrès de Lille). Il ré- 

 sulte de là que les trealc-quatre conditions qui déierminent la quartique sont distinctes, car si 

 elles ne l'étaienl p;is, elles détermineraient an système linéaire ponc uel de quartiques, puisqu'elles 

 sont linéaires en coordonnées ordinaires, lequel serait coupé par un plan pa-sant par la direc- 

 trice double suivant un système linéaire ponctuel de coniques, qui seraient toutes harmonique- 

 ment inscrites à toutes les coniques d'un réseau ponctuel, ce qui est impossible. 

 (*) Bulletin de la Société tnalh viatique de France, loco citato. 



