PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 121 



nous aurons, pour que cette conique; soit ]iarinoni(|ueinent inscrite à la 

 coui(|ue (11), la condition (12), dans laquelle ilsiitiira dci diminuer d'une 

 unité les indices des fonctions 7, >}, (o. Il en résulte; qu'elle sera du 

 quatrième degré en tg cp, et que, pour être remplie identiquement, elle 

 donnera lieu à cinq conditions linéaires par rapport aux coefficients de 

 la quadrique, ce qui prouve qu'il y a une inlinité de surfaces de se- 

 cond degré répondant à la question , et que ce sont les quadriques 

 d'un système linéaire Z, du quatrième ordre (à quatre arbitraires). 



Si l'on exprime que la conique (li) se réduit à deux droites, on a la 

 condition (13), dans laquelle les indices sont diminués d'une unité, et 

 qui est alors du cinquième degré en tg 9 : on trouve ainsi les cinq 

 plans tangents menés par l'axe des 2 à la surface, et l'on voit, pour 

 les mêmes raisons que plus haut, que toutes les surfaces du système 2i 

 doivent passer par les cinq points de contact : on a donc aftaire à un 

 système linéaire particulier de quatrième ordre. L'on voit en même 

 temps que les cinq conditions auxquelles sont assujetties les surfaces 

 du système sont bien distinctes. Ainsi, le mode de génération est dé- 

 montré. 



Nous reviendrons néanmoins sur la démonstration que nous en 

 avons donnée, à cause de ses conséquences relatives aux surfaces du 

 quatrième degré à directrice double, et nous saisirons cette occasion 

 de donner une démonstration géométrique du théorème suivant, qui . 

 nous a servi de point de départ : 



Le lieu de la conique harmoniquement inscrite aux coniques d'inter- 

 section par un plan tournant autour d'une droite fixe de toutes les qua- 

 driques d'un système linéaire du quatrième ordre (*) est, en général, une 

 surface du huitième degré, dont la droite fixe est directrice singulière du 

 sixième ordre, et possédant en général dix directrices singulières, tout le 

 long desquelles le plan langent est le même. 



Pour démontrer ce théorème, rappelons que les quadriques d'un sys- 

 tème linéaire du quatrième ordre, qui sont celles dont l'équation géné- 

 rale renferme linéairement quatre paramètres variables , comprennent 

 une inlinité de cônes dont un a pour sonnnet un point donné de l'es- 

 pace. Considérons alors, dans un plan P, une droite D, et cherchons 

 l'enveloppe dans ce plan des droites G et H, suivant lesquelles le plan P 

 est coupé par le cône variable du système dont le sommet parcourt la 

 droite I). Un point M de la droite D étant le sommet d'un seul cône du 

 système, il suffit de chercher le nombre de fois que la droite D est 



Cl Ces quadriques sont coupûes par un plan suivant les coniques d'un système ponctuel du qua- 

 trième ordre, dont le système contrav;iriant est, par suite, d'ordre zéro, et se réuuit a une conique 

 qui est la conique liaimoniquf?m?nt inscrite à C'nq coniques quelconques du système ; c'est elle 

 qui engendre le lieu. 



