122 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



tangente à l'enveloppe , pour en avoir la classe ; or, les surfaces du 

 système qui passent par D forment un système à une arbitraire, ou 

 faisceau, qui, dans ce cas particulier, ne comprend que deux cônes, 

 puisque les surfaces dont il se compose ont une droite commune; il y 

 a donc dans le système primitif deux cônes passant par la droite D, 

 laquelle est dès lors tangente double de l'enveloppe cherchée ; comme 

 par chaque point de D, on peut encore mener deux tangentes G et H à 

 l'enveloppe, celle-ci est de la quatrième classe: ayant une tangente 

 double, elle est du dixième degré, et la tangente double, en dehors des 

 points de contact, la rencontre en six points, pour lesquels les droites 

 G et H coïncident, c'est-à-dire pour lesquels le cône du système est 

 tangent au plan P. 



Ainsi nous voyons d'abord que : 



L'enveloppe des droites suivant lesquelles un plan est coupé par les 

 cônes du système qui ont leur sommet sur une droite de ce plan est une 

 courbe de la quatrième classe et du dixième degré. 



Le lieu des points d'un plan pour lesquels le cône du système qui a ce 

 point pour sommet est tangent au plan est une courbe du sixième de- 

 .gré{*). 



Corrélativement : 



L'enveloppe des plans passant par un point donné pour lesquels la co- 

 nique d'un système tangentiel du quatrième ordre, qui est située dans ce 

 plan, passe par le point donné, est un cône de la sixième classe. 



Or, la conique qui engendre le lieu dont nous recherchons le degré, 

 est dans chaque position du plan mobile la conique du système tangen- 

 tiel contravariant du système considéré; il y aura donc six positions du 

 p an mobile autour de la droite fixe, pour lesquelles elle passera par 

 un point donné de cette droite, qui sera dès lors une directrice singu- 

 lière du sixième ordre du lieu cherché; et comme en dehors de cette 

 droite le lieu ne possède qu'une conique dans le plan, il en résulte que 

 le lieu est du huitième degré. 



Rappelons maintenant qu'il peut arriver, pour certains plans de l'es- 

 pace, que la conique située dans le plan, et harmoniquement inscrite 

 aux surfaces du système donné, se réduise à deux droites confondues 

 en une seule, qui coupe alors suivant des points en involution les sur- 

 faces du système; et que le lieu de ces droites est une surface réglée 

 du dixième degré et par suite de dixième classe, S^o (**). Il y aura donc 



(*) Nous avons fait voir dans une note qui sera publiée à la suite de la traduction française de 

 la géométrie analytique à trois dimensions de M. Salmon, que cette courbe a dix points doubles 

 etpir s iite est unicursale. Elle ne saurait donc être de degré inférieur à six, ce qui arriveratt 

 si l'enveloppe de quatrième classe était de degré inférieur à dix, comme on pourrait le croire 

 au cas où cette enveloppe aurait plus d'une tangente double. 



(**) Darboux, Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques, t. I, p. 357. 



