PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 123 



dix génératrices de cette surface qui couperont la droite fixe autour de 

 laquelle tourne le plan mobile, et, par suite, dix positions du plan mo- 

 bile pour lesquelles la conique génératrice de la surface se réduit à deux 

 droites confondues, et tout le long desquelles le plan tangent sera le 

 même. L'on obtient ainsi dix des plans tangents menés par la droite 

 fixe à la surface du huitième degré Sg, p]n vertu d'une formule rappe- 

 lée plus haut, ces plans sont en nombre égal à vingt, mais chacun des 

 précédents compte pour deux, et il ne saurait y avoir d'autres plans 

 passant par la directrice double et coupant la surface suivant deux 

 droites: il n'y a pas, en effet, d'autre position du plan mobile pour 

 laquelle la conique génératrice se réduise à deux droites confondues, et 

 l'on sait que si une conique harmoniquement inscrite à une autre se 

 réduit à deux droites, il doit arriver ou que les droites se confondent ou 

 que l'autre conique passe par leur point de rencontre ; or, ce dernier 

 cas ne se présente pour aucune position du plan mobile, puisqu'on gé- 

 néral les surfaces du système n'ont aucun point commun. 



Supposons maintenant que les quadriques du système aient p points 

 communs (p <. 5) ; alors tout est changé. Toute droite passant par l'un 

 d'eux coupe les surfaces du système suivant une invoîution à points 

 doubles confondus; ce point fait donc partie à titre de surface tangen- 

 tielle de la surface Sio, dont la classe, et par suite le degré, s'abaissera : 

 le calcul fait voir que l'un et l'autre s'abaissent de deux unités par 

 point; la surface sera donc de degré 10 — 2p. D'ailleurs, le plan pas- 

 sant par la droite fixe et par ce point fait tout entier partie de la surface 

 Sg, laquelle devient de degré 8 — p; et le nombre des plans tangents 

 qu'on peut lui mener par la droite fixe s'abaisse à 20 — 3p ; ce sont 

 d'abord les 10 — 2p plans passant par la droite fixe et les généra- 

 trices de Sjo rencontrées par cette droite, plans qui sont respective- 

 ment tangents le long de ces génératrices et qui comptent chacun pour 

 deux, soit 20 — 4p; ce sontensuite les p plans passant par la droite fixe 

 et par chacun des points communs aux surfaces du système, dans cha- 

 cun desquels la conique harmoniquement inscrite se réduit à deux droites 

 distinctes dont le point d'intersection est le point commun aux quadriques. 



Si l'on faitp = 5, la surface Sg devient du troisième degré et n'admet 

 plus la droite fixe qu'au degré de multiplicité un. 



L'on voit que tout plan passant par cette di'oite, la coupe en outre, 

 suivant la conique, située dans ce plan, harmoniquement inscrite à 

 toutes les quadriques qui passent par les cinq points de contact des plans 

 tangents menés par la droite. Nous avons conclu par une réciproque 

 notre mode de génération. Il n'y a pas alors, en dehors des droites 

 passant par l'un des cinq points, de droites coupant les surfaces du 

 système suivant des points en invoîution. 



