124 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Si l'on taitp = 4, la surface Sg ne s'abaisse qu'au quatrième degré, 

 admet la droite fixe au degré de multiplicité deux et rentre dans la 

 catégorie de celles que nous étudions. Mais l'on voit que ce n'est pas la 

 quartique générale à directrice double, puisque quatre des plans tan- 

 gents menés par cette droite sont confondus deux par deux et sont 

 alors tangents tout le long d'une droite. Le théorème général, énoncé 

 plus haut sur ces surfaces ne subsiste pas, puisque l'on voit que les 

 quadriques répondant à la question sont, non plus les quadriques d'un 

 réseau, mais celles d'un système du quatrième ordre. Gela tient à ce 

 que les sept équations dont dépendent leurs coefficients ne sont plus 

 distinctes , mais se réduisent à cinq : nous avions admis en effet, pour 

 faire voir qu'elles sont distinctes, que les plans tangents menés à la sur- 

 face par la droite fixe étaient eux-mêmes distincts (*). 



Si l'on fait p =3, la surface S» s'abaisse au cinquième degré et admet 

 la droite fixe pour directrice triple. Nous n'avons pas considéré cette 

 catégorie de surfaces ; mais en leur appliquant le calcul qui nous a déjà 

 servi pour les cubiques, et les quartiques à directrice double, on arri- 

 verait immédiatement au théorème suivant : 



Si une surface du cinquièins degré possède une directrice triple, les 

 points de contact des onze plans tançjents quon peut lui mener par cette 

 droite sont, en (jénéral, sxir une même surface du second degré, qui est 

 telle que la conique, suivant laquelle un plan quelconque par la droite 

 rencontre la quintique, est harmoniquement inscrite à celle suivant la- 

 quelle il rencontre la quadrique. 



Ce théorème cesse d'être vrai pour la (|uintique particulière à laquelle 

 donne lieu la surface S» pour p = 3, parce que huit des onze plans 

 tangents sont confondus deux par deux et sont tangents tout le long 

 d'une droite. Le point de contact n'appartient plus alors nécessairement 

 à la quadrique cherchée et les neuf équations qui déterminent ses 

 coefficients peuvent n'être plus distinctes. 



(*) D'après ce qui a été dit plus haut, la .surface S,, doit, dans ce cas, devenir du second degré. 

 M. Daibnix nous en a coiniiiuniqué une élégante démonstration que iiojs reproduisons. Si l'on 

 assujettit les surfaces du système à passer par trois points, on obtient un faisceau ; si les trois 

 points sont pris dans le plan de trois d. s quatre points com nuns. ce plan fera parlii- de chaque 

 surface du faisceau dont le reste sera un iilan v.iriable tournant autour d'une droite fixe passant 

 par le quatrième point commun. Cette droite sera rencontrée par toute génératrice de S|o, sans 

 quoi, plusieurs couples de points de l'involution ayant un seul point commun, les points doubles 

 seraient confondus, ce qui ne saurait arriver en général. La droite qui engendre la surface Su^ 

 rencontrera de même trois autres droites fixes issues respectivement de chacun des autres 

 points communs; elle engendre donc une surface du S(^cond degré. 



Il est d'ailleurs facile de voir directement que ces quatre droites sont sur un même hyper- 

 boloïde à une nappe, car elles joignent respectivement les sommets correspondants du tétraèdre 

 des quatre points et de so i tétraèdre polaire par rap; on à la quadrique à laquelle les quadriques 

 du systme, qui ont déjà quatre points communs, doivent, pour former système du quatrième 

 ordre, être liarmoniquement circonscrites. 



