PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLACMATIQUES \"2o 



VII. — Étude d'une classe particulière de surfaces du quatrième 



DEGRÉ a directrice DOUBLE. 



L'équation (9) représente la surface générale du quatrième degré qui 

 a pour directiice double l'axe des z. 



Le cône du second degré tangent à la surface à l'origine se réduit au 

 système de deux plans 



II se réduit de même à deux plans pour un point (lueiconque de la di- 

 rectrice double. Si l'on transporte, en ellet, l'origine des coordonnées au 

 point de l'axe des z pour lequel 



z = Zi 



réquation 



f{x.y.z)=0 



devient 



f{x,y.z-\-z,) = 



dans laquelle l'ensemble des termes de degré inférieur donne 

 {hx^ + ^pxij +gy') ;;i2 4_ 2 (,,^2 ^ Ç2 wxy + uy') z, 



qui représente un système de deux plans. Si l'on y remplace x par 

 coscp et 2/ par sincp, cette équation donnera les angles que font ces 

 plans avec le plan des zx. Si d'autre part, on fait p = dans l'équa- 

 tion (10), on obtient le même résultat. On peut donc dire que l'équa- 

 tion 



{h cosses -l-2;Jcos'^ sincp -\-y sin^cp) j5*-|-2 (y cos'^cp-f-âwcos^cpsin-^ -|-w sin^cp) z 

 -|- a cos *cp -j- ^y coscpsin 'f-|- [î sin^cp=0 (15) 



fournit soit les directions des plans tangents en fonction de l'ordonnée 

 du point de contact, soit les ordonnées des points d'intersection avec 

 l'axe des z de la conique génératrice de la surface en fonction de l'an- 

 gle du plan de la conique avec le plan des zx. A une valeur de z, cor 

 respondent deux valeurs de cp, et à une valeur de cp corresi)ondciil deux 

 valeurs de s, mais il n'arrivera pas, en général, que les z et les cp se 

 correspondent par couples, en ce sens, que si l'on considère, par exem- 

 ple, les deux valeurs de cp qui correspondent à une même valeui- de z, 

 les deux valeurs de z correspondant à chacune d'elles ne sont pas les 

 mêmes. On peut chercher la condition pour qu'il en soit ainsi. Suppo- 

 sons 



a = 



