PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES 127 



La condition nécessaire et suffisante pour que les deux coniques d'in- 

 tersection de la surface par les deux plans tangents en un point quel- 

 conque de la directrice double se coupent en deux points de cette direc- 

 trice, 

 ou encore 



pour que ces deux coniques puissent être placées sur une surface du 

 second degré, 

 ou encore 



pour que les couples de plans tangents menés à la surface par les deux 

 points d'intersection de la directrice double avec une conique quelconque 

 de la surface soient les mêmes. 



est 



P 



w 







Dans les mêmes circonstances, les couples de plans tangents menés à 

 la surface par les différents points de la directrice double forment un 

 faisceau en involution, et les couples de points d'intersection de cette 

 droite avec les coniques de la surface sont en involution. Si l'on substi- 

 tue, en effet, dans l'équation (15) trois valeurs arbitraires de cp: cp^, 

 cf<2 et <p3, et si l'on exprime que les trois couples de z correspondant four- 

 nissent six points en involution, il vient 



I /«cos^ 9i+ 2/J cos cpi sin cpi -f- ^ sin^ (p^ v cos* cpi -f- 2 tt? cos cp^ sin <Pi + w sin* cpi 

 /icos2(p2-f-2/jcoscp2 sincp^-f-g'sin^cp^ vcos^cp^+S^coscp^sinç^ -j-usin^cp^ 

 h cos^ cps+î^p cos cpa sin '^^-{-g sin^ cpg v cos^ 0-3 + 2 w; cos cp;^ sin cp^ -f w sin* 93 



acos^cpi -|- 2y cos cpi sin tpi -)- fisin'^cpi 

 àcos^cpa -|- 2 y cos cp2 sin (p.2 + [isin^cpa 

 àcos*cp3 -|- 2 y cos cp3 sin cp3 -)- psin^cpa 



= 



ou 



= 



Le second déterminant ne pouvant être nul si les valeurs cpi, cp,, cp, 

 sont distinctes, la condition se réduit à 



On arriverait à la même relation en exprimant que les trois couples 

 de plans correspondant à trois valeurs arbitraires de z sont en involution. 



