i28 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCANIQUE 



Nous nous proposons d'étudier la quartique particulière, à directrice 

 double, pour laquelle cette condition est remplie: nous lui donnerons le 

 nom de quartique involulive. 



Théorème. — Le lieu des courbes a intersection des couples de plans 

 d'un faisceau en involution avec les surfaces du second degré d'un fais- 

 ceau ponctuel homographique au faisceau de plans, est une quartique 

 involulive dont l'axe du faisceau de plans est la directrice double et 

 passant par la hiquadrnt^que, base du faisceau ponctuel. 



Soient en effet 



P, + XP, = 



l'équation générale des couples de plans d'un faisceau en involution, dont 

 l'axe est l'axe des z, dans laquelle, par conséquent, Pj et P^ sont des 

 fonctions liomogènes du second degré en x et y, et 



Si + i^.s, = 



l'équation générale des surfaces du second degré d'un faisceau ponctuel. 

 Ces deux faisceaux seront homographiques si l'on a la relation 



cl\[}. -f- fiX -)- yi^- -f- 2 = 



Eliminant X et [j. entre ces trois équations, on obtient 



aP,S^ - p.PiS,, - yP.S, + oP,S, = 



équation d'une (luartiquc qui passe deux fois par la droite d'intersec- 

 tion des plans Pj et P^, une fois par la courbe d'intersection des sur- 

 faces Si et S2, et qui est involulive par sa définition même. 



Réciproquement, toute quartique involutive peut être engendrée d'une 

 infinité de manières, comme il vient d'être dit. Considérons en effet les 

 deux coniques suivant lesquelles deux plans conjugués passant par la 

 directrice double rencontrent la ^urface; par ces deux coniques faisons 

 passer une surface du second degré, ce qui est possible d'une infinité de 

 manières puisqu'elles se coupent en deux points de la directrice double: 

 cette surface coupera encore la quartique suivant une courbe gauche 

 du quatrième degré, intersection de deux surfaces du second degré (*), 

 opérons alors avec le faisceau des quadriques qui passent par celte bi- 

 quadraticjue et le faisceau des plans tangents menés à la quartique don- 

 née par les différents points de la directrice double, ainsi qu'il a été dit 

 plus haut. Pour établir la correspondance homographique, à trois sur- 

 faces S^, S^, S3 du premier faisceau, faisons correspondre les trois couples 

 de plans P^, P.^ et P3 du second faisceau renfermant respectivement les 

 couples de coniques suivant lesquelles ces trois surfaces coupent encore 



(*) Lorsque la courbe d'iatersection de deux surfaces se décompose en deux autres de inéine 

 degré, elles ont le même nombre de points doubles apparents. 



