PICQUET. — SUR LES COURBES ET SURFACES ANALLAGMATIQUES l'^9 



la quartique donnée (*) ; la surface engendrée sera alors une quartique 

 involutive, admettant pour directrice double l'axe du faisceau de plans, 

 passant par la biquadratique base du faisceau des quadriques et ayant 

 en outre six coniques communes avec la quartique donnée, ce qui est 

 beaucoup plus que suffisant pour que les deux surfaces coïncident. 



Un exemple contribuera à mettre en lumière les propriétés de cette sur- 

 face intéressante. l^]tanl donné un faisceau ponctuel de quadri([ues, un 

 plan quelconque le coupt; suivant un faisceau ponctuel de coniques com- 

 prenant une hyperbole équilatère ; supposons que le plan tourne autour 

 d'une droite fixe D et proposons-nous de trouver le lieu des hyperboles 

 équilatères des faisceaux de coniques correspondant aux diverses positions 

 du plan mobile. Il est facile de voir que ce lieu est une quartique in- 

 volutive, dont la directrice double est la droite D. En effet, lorsque le 

 plan tourne, les hyperboles équilatères génératrices ne peuvent se ren- 

 contrer que sur la droite D ; chaque plan passant par cette droite ne 

 peut donc couper la surface cherchée que suivant l'hyperbole génératrice 

 et la droite D, dont il suffira dès lors de chercher le degré de multipli- 

 cité pour avoir le degré de la surface. Pour cela il faut trouver combien 

 d'hyperboles génératrices passent par un point P de la droite D ; or, par 

 ce point, il passe une seule surface du faisceau ponctuel laquelle ren- 

 fermera conséquemment les dites hyperboles ; d'ailleurs, par ce point 

 on peut mener deux plans tangents au cône enveloppe des sections équi- 

 latères de cette surface; il y aura donc deux hyperboles génératrices se 

 coupant au point P et la droite; est double. 



La surface est donc du quatrième degré ; c'est une quartique invo- 

 lutive, car les deux plans tangents en P la coupent suivant deux hyper- 

 boles équilatères situées sur une même surface du faisceau ponctuel ; 

 l'on voit d'ailleurs que ces couples de plans tangents forment un faisceau 

 en involution, car ce sont les plans tangents menés par une droite à un 

 taisceau tangenliel de cônes du second degré ayant leur sommet commun 

 en un point de cette droite (**}. 



La quartique passe par la biquadî*atique, base du faisceau ponctuel, 

 car toute hyperbole génératrice en renferme quatre points ; et elle ne 

 la contient qu'une fois, car par un point arbitraire de cette courbe et 

 la droite on ne peut mener qu'un plan. La courbe du huitième degré 

 suivant laquelle elle coupe chaque surface du faisceau se compose donc 



(") La Diquadraliquc considérée sur la quartique ne rencontre pas lu directrice double ; toute 

 quadriquo passant par cette courbe coupera donc encore la quartique suivant uae biquadratique 

 ayant doux points doubles en ses points d'intrrscction avec la directrice double, c"est-à-dire sui- 

 vant deux coniques. Le cas d'une droite et d'une cubique gauche est impossible. 



("■*) Nous a'^ons fait voir {Buitetin de lu Société malhém. du France, t. IV. p. liS) (|uc le L'unes, 

 enveloppes l'espectivcs des sections équilatères des quidriques d'un l'aisceau puuctucl, iornicni 

 lai.sctMu IJngenticl. 



