130 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODKSIE. MÉCANIQUE 



de la biqiiadratique et des deux sections équilatères de la surlace pas- 

 sant par la droite D. 



Il est facile de trouver les huit plans tangents menés à la quartique 

 par sa directrice double. L'un d'eux coupera en effet la .surface suivant 

 une iiyperbole équilatère réduite à deux droites rectangulaires, et par 

 suite sera tangent ;i la quadrique correspondanle dans le faisceau ponc- 

 tuel. Il faut donc chercher parmi les plans tangents menés par D aux 

 surfaces du faisceau ponctuel, on même temps qu'aux cônes du second 

 degré C, enveloppes respectives des plans de sections équilatères de ces 

 surfaces, le nombre des coïncidences des plans correspondants. Or, à un 

 plan du premier système correspondent six plans du second ; car trois 

 quadriques du faisceau ponctuel sont tangentes à ce plan, et à chacune 

 d'elles correspond un cône auquel on peut mener deux plans tangents 

 par la droite D; de même à un plan du second système correspondent 

 deux plans du premier, puisqu'un seul cône est tangent à ce plan et 

 qu'à ce cône correspond une seule quadrique à laquelle on peut mener 

 deux plans tangents par la droite D. En vertu du principe de corres- 

 pondance, il y aura donc huit coïncidences. 



Cherchons ce qui se passe dans un plan quelconque ::. Les éléments 

 de la question dans ce plan, sont : 



i° Son point d'intersection A avec la droite 1). 



!2" Le faisceau ponctuel I* des coniques suivant lesquelles le plan r, 

 coupe les surfaces du faisceau ponctuel. 



30 Le faisceau tangentiel T des coniques suivant lesquelles le plan 7: 

 coupe les cônes C. 



A une conique du faisceau P correspond une conique du faisceau T, 

 intersection du plan % par le cône enveloppe des sections équilatères de 

 la quadrique S, qui coupe ce plan suivant la première conique, et réci- 

 proquement à une conique du faisceau T correspond une conique du 

 faisceau P. 



Cela posé, ou obtiendra les points de la courbe d'intersection C4 du 

 plan X avec la quartique en menant du point A des tangentes à une 

 conique du faisceau ï et prenant leurs points d'intersection avec la 

 conique correspondante du faisceau P. Ces droites sont, en effet, les 

 traces des plans passant par la droite D et coupant la surface .S, corres- 

 pondante suivant une hyperbole équilatère. Les points où ces hyperboles 

 coupent le plan x seront donc sur la courbe d'intersection de ce plan 

 et de la surface S^. Les deux faisceaux étant homographiques, on recon- 

 naît là le mode de génération qui a été donné pour les courbes du 

 quatrième degré à point double. 



En particulier, dans le plan de l'infini, chaque conique du faisceau 

 tangentiel est l'enveloppe des droites qui coupent suivant (}uatre points 



