PlCyLET. — SUR LES COL'RliES ET Sl'RFAGES ANALLAGMATIQL'KS loi 



harmoniques le cercle de l'infini et lu conique correspondante du faisceau 

 ponctuel, puisque les points à l'inlini d'une hyperbole équilatère sont 

 conjugués harmoniques par rapport aux points cycliques. Il en résulte 

 que la coni(iue d'anallagmasie de la courbe à l'inlini C^ de la quartique 

 est le cercle de l'inlini. 



Considérons la direction de plans déterminée par la droite du plan de 

 l'infini qui est la polaire par rapport au cercle de l'inlini du point 

 double de la courbe C^; ces plans, ne sont autres que les plans perpen- 

 diculaires à la directrice double. Nous avons vu, à propos des quartiques 

 planes, (jue la polaire du point double par rapport à la conique d'anal- 

 lagmasie est corde commune à cette conique et à la quartique. Donc tous 

 ces plans couperont la surface suivant des courbes qui auront deux points 

 sur le cercle de l'infini, c'est-à-dire suivant des quartiques unicirculaires. 

 L'une d'entre elles est anallagmatique ; car, dans un plan, les deux autres 

 points d'intersection, a et h, avec la quartique de ladite polaire, points situés 

 sur les tangentes au point double, sont sur deux rayons conjugués du 

 faisceau f en involution formé par les couples de tangentes menées du 

 point double aux coniques du faisceau tangentiel ; d'ailleurs pour un plan 

 quelconque, ce faisceau résulte de l'intersection du plan avec le faisceau 

 formé par les couples de plans tangents menés par la directrice double 

 aux cônes C, ou par chaque point de cette droite à la surface quartiijue. 

 Si maintenant on fait tourner un plan autour de ladite polaire, c'est- 

 à-dire s'il se meut perpendiculairement à la directrice double, les 

 traces sur cette polaire des droites d'intersection du plan avec les deux 

 plans tangents issus du point où il rencontre la directrice double seront 

 successivement les rayons conjugués du faisceau /", et il y aura un couple 

 de plans pour lesquels ils coïncideront avec les points a et h. La quarticiue 

 étant involutive, ces deux plans ont deux points de contact ; l'un est à 

 l'infini puisque, par hypothèse, leurs traces sur le plan de l'infini sont les 

 tangentes au point double de la courbe à l'infini de la surface; l'autre 

 est à dislance finie, et la section plane de la surface, passant par ce point 

 perpendiculairement à la directrice double, est anallagmatique; puisqu'elle 

 est unicirculaire et que les tangentes au point double sont parallèles aux 

 asymptotes. Ainsi la quartique possède une section plane anallagmatique 

 située dans le plan mené perpendiculairement ii la directrice double par 

 le centre de V involution déterminée sur cette droite par les couples de 

 plans tangents menés à la surface par ses différents points. 



On sait (*) qu'une surface de degré n, à directrice multiple d'ordre 

 n-2, coupée conséquemment suivant une conique par tout plan mené 

 par celte directrice, admet n sections équilatères. La quartique involu- 



1*! Sturm, lovii citnto, p. ?59. 



