132 MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MFCANIQUE 



tive générale admettra donc généralement quatre sections équilatères, 

 comme on peut d'ailleurs le vérifier en exprimant que la conique (10) 

 est une hyperbole équilatère. Si elle en admet cinq, elle en admettra une 

 jnfinité et toutes les sections planes menées par la directrice double seront 

 équilatères ; elle deviendra la qiiartique involutive équilatère que nous 

 venons d'étudier, et dont la plupart des propriétés peuvent d'ailleurs, 

 par une transformation homograpliique, devenir des propriétés non moins 

 intéressantes de la quartique involutive générale. 



M. A. MAINHEIM 



Clier d'escadron d'arlillerie, Professeur à l'École polytechnique. 



TRANSFORMATION PAR POLAIRES RÉCIPROQUES D'UN PINCEAU DE NORMALES 



ET EXTENSIONS. 



— Séance (I u ^7 aoi'd t S7S . — 



La polaire réciproque d'un pinceau est un pinceau ; les foyers et les 

 plans focaux de ce dernier pinceau correspondent aux plans focaux et 

 aux foyers du pinceau transformé. 



Nous allons prendre en particulier un pinceau de normales et chercher 

 d'abord la propriété correspondante à celle-ci: Les plans focaux d'un 

 pinceau de normales sont reetangulaires . 



Soit (A) Ja surface polaire de la surface dont on considère un pinceau 

 de normales. Prenons un point a sur cette surface et le plan (T) qui lui 

 est tangent en ce point. Du centre o de la sphère directrice^ par rapport 

 à laquelle on effectue la transformationj menons un plan perpendiculaire 

 à oa . Ce plan coupe (T) suivant une droite G. 



Lorsqu'on considère toutes les positions que peut prendre a autour 

 de sa première situation, on aura une infinité de droites telles (jue G 

 formant un pinceau [G] qui correspond à un pinceau de normales. 



Il résulte tout de suite de la propriété que nous transformons ([ue si 

 /i et fj sont sur G les foyers de [G] l'angle f^ofi est droit. Complétons ce 

 résultat en transformant cette propriété. Les plans focaux du pinceau de 

 normales ii une surface contiennent les axes d\me indicalrice de cette 

 surface. 



On sait que deux tangentes conjuguées ont pour polaires deux tan- 

 gentes conjuguées. Les polaires a/i, af-, des axes de l'indicatrice sont 

 alors deux tangentes conjuguées de (A). Nous pouvons dire alors en 



