A. MANNHEIM. — TRAiNSFOUMATION d'uN PINCEAU DE NORMALES . 133 



réunissant ce résultat à celui qui précède: Lesfoyerfidu pinceau [G] nont 

 les points de rencontre de G et des deux tangentes conjuguées de (A) qui 

 sont vues de o sous un angle droit . 



Du point comme centre, décrivons une sphère. Au point b où elle 

 coupe oa, menons lui un plan tangent. Ce plan, parallèle au plan (o, G) 

 coupe (T) suivant G'. Cette droite, parallèle à G, engendre un pinceau [G] 

 pendant que G engendre [G]. 

 Nous allons étendre à ce pinceau [G] le résultat obtenu précédemment. 

 Lorsque G engendre un élément de surface développable, le plan (o,G) 

 a pour caractéristique o/'^, par exemple. Le plan {b, G), langent à la 

 sphère en b, et qui est parallèle au plan (o, G), a pour caractéristique 

 la droite 6/' 1, qui est parallèle à of\. Le point f\, où cette caractéris- 

 tique rencontre G' n'est autre que le point de contact du plan (b, G') 

 et de l'élément de surface (G) engendré par G' pendant que G engendre 

 un élément de surface développable. 



Le plan (T) déplacé en même temps que G a pour caractéristique a.f\. 

 M touche alors aussi en f\\sL surface (G'). 



Le point f\ étant le point où deux plans différents touchent (G) est, 

 sur l'arête de rebroussement de la surface développable engendrée par 

 G'. Nous dirons alors que : 



2. Les foyers du pinceau [G], engendrés en même temps que [G] au 

 moyen de plans tangents à la sphère de centre o, s'obtiennent en prenant les 

 points de rencontre f\ et f\ de deux tangentes conjuguées de (A) et tels 

 que Vangle f\ bf'.i soit droit. 



Si l'on transforme ce résultat par polaires réciproques en plaçanl 

 toujours le centre de la sphère directrice au point o, on trouve cette 

 propriété : 



3. On donne une surface (A) et une sphère. On joint par une droite les 

 points de contact de ces surfaces et de plans tangents parallèles. Cette 

 droite engendre un pinceau lorsqu'on fait varier infiniment peu la direction 

 de ces plans tangents. Les plans focaux de ce pinceau contiennent les axes 

 d'une indicatrice de (A'). 



Si la sphère, qui entre dans cet énoncé, a un rayon infini, le pinceau 

 devient un pinceau de normales et l'on retrouve la propriété d'où nous 

 sommes partis. 



Le théorème 3 se généralise facilement ainsi : 



4. On donne deux surfaces quelconques (A) (B'), on mène à ces surfaces 

 des plans tangents parallèles entre eux et qui les touchent en a , b'. La 

 droite a b' engendre un pinceau, lorsqu'on change infiniment peu la position 

 des plans tangents aux surfaces (A') et (B'). Les plam focaux de ce pinceau 

 ont pour traces, sur les plans tangents en a et b', des tangentes conjuguées. 



La démonstration directe de cette propriété est très-simple. 



