j3i MATHÉMATIQUES, ASTRONOMIE, GÉODÉSIE, MÉCAMQLE 



En transformant par polaires réciproques le théorème 4 on trouve : 



S. On donne deux surfaces (A) (B) etunpoint ojixe. On mène de ce point 

 une droite qui coupe ces surfaces en a etb et Von prend la droite D suivant 

 laquelle se coupent les plans tangents en a et b à (A) et (B). Lorsque la 

 droite oa se déplace autour de sa première position D engendre un pinceau 

 dont les foyers f^ et f^ sont tels que afy, af^ et 6/i, hf, sont des tangentes 

 conjuguées de (A) et (B) : 



Reprenons le pinceau [G] transformé d'un pinceau de normales. Nous 

 avons vu (th. I) comment on détermine les foyers de ce pinceau. Cher- 

 chons maintenant ses plans focaux. 



Pour cela nous devons cliercher les plans polaires des foyers du pin- 

 ceau de normales, c'est-à-dire des centres de courbure principaux de la 

 surface que l'on transforme. Les plans f^oa, f^oa, (en conservant les no- 

 tations précédentes), sont respectivement perpendiculaires aux axes de 

 l'indicatrice de cette dernière surface. Ces plans sont alors aussi per- 

 pendiculaires aux génératrices des cylindres droits ayant pour sections 

 droites les cercles de courl)urcdes sections déterminées dans cette surface 

 par les plans focaux du pinceau de normales. 



Ils coupent alors ces cylindres suivant des cercles égaux à ces cercles 

 de courbures; ces cylindres se transforment en coniques situées dans les 

 plans /'jOa, f^oa qui ont pour foyer o et qui sont osculatrices en a à (A). 

 Les grands axes de ces coniques passent parles centres des sections droites 

 des cylindres et les perpendiculaires abaissées de fi et de f^ sur ces axes 

 sont dans les plans polaires demandés. Connaissant les centres de cour- 

 bure des sections faites dans (A) par les plans f^oa, f^oa, on sait cons- 

 truire ces axes, par suite, on a les plans focaux de [G]. 



Reprenons le pinceau [G] obtenu en considérant une sphère décrite 

 du point comme centre et en menant le plan tangent à cette sphère au 

 point b où elle est coupée par la droite oa. Nous avons vu que les foyers 

 de [G] et de [G] sont sur des droites passant par a. Nous ajouterons que 

 les plans focaux de ces pinceaux sont parallèles entre eux. 



Nous allons démontrer l'extension suivante de cette propriété : 



On donne deux surfaces quelconques (A), (B). Une normale à (B) issue 

 du point b de cette surface rencontre (A) au point a. On mène en a et 

 b les plants tangents (T) et (U) à (A), (B) ; ces plans se coupent suivant 

 ime droite G. Prenons une surface (B') parallèle à (B), la normale ab la 

 rencontre en b', l'on mène it (B) le plan tangent (U'): ce plan rencontre 

 ( f) suivant G'. Lorsqu'on déplace a autour de sa position les droites 

 G, G' engendrent des pinceaux [G], [G]: les foyers de ces pinceaux sont 

 sur des droites passant par a et les plans focaux de ces pinceaux sont 

 parallèles entre eux. 



Supposons que G engendre un élément de surface développable en tour- 



