A. LAISANT. — GÉNÉUALISATION DE LA DIVISION HARMONIQUE 13-') 



liant autour de /i. La caractéristique de (T) est alors /ja et celle de (U) 

 est f\b. Le plan (U) étant parallèle à (U) a pour caractéristique une paral- 

 lèle à fib et comme cette droite passe par 6' où il touche (B), c'est la 

 droite qui joint b' au point f\ où (U) rencontre f\a. La surface engendrée 

 par G', pendant le déplacement de G, est touchée par (T) au point de ren- 

 contre f\ de G' et de la caractéristicjue /"^a de ce plan. Elle est touchée 

 au même point par (U), donc G' engendre aussi un élément de surface dé- 

 veloppable. En outre, comme les droites G et G' sont constamment paral- 

 lèles entre elles, les plans tangents aux éléments de surface développable 

 engendrés simultanément par G, G' sont parallèles entre eux; ces plans 

 sont les plans focaux des pinceaux [G] [G]. La proposition est donc 

 démontrée . 



Ceci est applicable à la surface (B) lieu des intersections successives 

 de sphères de rayons variables dont les centres sont sur une surface (A) 

 et à une surface parallèle de (B). Une sphère variable de centre a 

 touche (B) (qui a deux nappes) en 6 et 61, les plans tangents en ces 

 points aux nappes de (B) se coupent en G, les plans tangents à la sur- 

 face parallèle à (B) se coupent en G' : lorsque l'on prend les sphères 

 dont les centres sont des points de (A) autour de a, G et G' engendrent 

 des pinceaux dont les foyers sont sur des droites passant par a cl dont 

 les plans focaux sont parallèles entre eux. 



M. A. LAISANT 



Docteur es sciences, Député ili' la L jire-InlV'i'ioui-i 



SUR UNE GENERALISATION DE LA DIVISION HARMONIQUE. 



— Séance du 27 août 1878. — 



Quatre points sur une droite, forment une division harmonique, lors- 

 qu'on a la relation. 



m ^ = ^ 



^^ GB BD 



Si on considère les deux membres de cette relation comme représen- 

 tant des rapports (jcométriques, la relation devient alors une équipollence, 

 (|ui exprime que les quatre points forment sur le phiii ce qu'on peut 

 appeler une division liarinoni(jue plane. 



Il résulte immédiatement de là que les angles ACB, ADB sont sup- 



