136 3IATIIÉMATIQUES, ASTR(JNOMIE, GEODESIE, !\!ECAMQUE 



plémentaires, et que par conséquent les quatre points sont sur une même 

 circonférence. Connaissant A, B, si on construit sur AB comme corde 

 une circonférence quelconque, si on mène le diamètre EF perpendicu- 

 laire à AB, et si on joint E, F à un point I quelconque de AB, les points 

 C et D où El, FI coupent la circonférence, satisfont à la relation harmo- 

 nique (1). 



Cette relation (1) peut prendre diverses formes, qui expriment autant 

 do propriétés géométriques. Par exemple, si C, D, divisent liarmoni- 

 qucment le système A, B, réciproquement A, B, divisent harmoni- 



I I 2 



qiioment C, D, on a aussi --— + -ttt = -rrr » ce qui donne une pro- 

 ^ AC AD AB 



priété immédiate et très -simple en transformant par inversion par 

 rapport au pôle A ; etc. 



En appelant M le milieu de AB, N le milieu de CD, un point quel- 

 conque du plan, on trouve encore 



OA. OB -f- OC. OD == 2 OM ON 



équipollence fort générale dans sa simplicité, et qui donne lieu h plusieurs 

 conséquences. 



Cette considération, nouvelle seulement dans la forme où elle est pré- 

 sentée, permet de résoudre simplement un grand nombre de problèmes, 

 dans le détail desquels nous ne saurions entrer ici. 



Indiquons seulement la notion de la moyenne harmonique OU d'un 

 certain nombre de droites G A, OA^, OA3, OAn , définie par l'équipollence 



OAi^OA,^" "^ OAn OH 



et contentons-nous d'énoncer ce théorème, presque intuitif : si les points 

 0, Aj, A2,....A,) sont situés sur une même circonférence, le point H 

 sera lui-même sur cette circonférence. 



M. HALPÏÏEI 



Ciipitaine d'îirtillorir, R('pptiteur il l'Érole polytechnicjiie. 



SUR LES INVARIANTS DIFFÉRENTIELS DES COURBES GAUCHES. 



Seau ce a ii i;7 août 1878. 



M. Halphen fait, l'élude complète des invariants différentiels des courbes 

 gauches, ou des premiers membres des équations différentielles qui expri- 

 ment les propriélés projectives de courbes gauches. Il montre qu'au-dessous 



