N. TAGLIAFEIiriO. — FONCTIONS NUMÉRIQUES TU ANSCENDANTES 143 



la lormulc (A) à un cas pai-UcLilier très-simple; c'esl-à-dire celui dans 

 lequel a = 3, et m = 4. On trouve 



<Ji — 5G/.8o9274983 "^ — • ^' 



Je n'ai pas l'intention d'exagérer l'importance du sujet que je traite, 

 mais je crois que l'introduction de ces fonctions dans la théorie des 

 nombres j)ourrait conduire à des résultats très-intéressants . Je me 

 propose, comme une des plus simples applications, de trouver les sommes 

 de séries, comme les suivantes, ou, pour mieux dire, de les transformer 

 en d'autres qui contiennent des fonctions d'ordre inférieur. 



,1 4- ,^2 + .,;:} + ... 



.1 + 3^2 -f ,;■} + . . . 

 ou bien encore 



h + "2, + 3, + . . . 



1, + 23 + 8, + . . . 



Je donne les formules applicables aux deux premières : 



m n=^a-\-m-\-] m— m 



^,(a + m) = ,a ^ ^ (,,_i), ^^ • "' 



I H .=: i III — i 



III n=(«-L7n)-'-(-i m. = m 



2_^,ia + m) = 3« 2 Z (n-1)! --"' ' "" 



La factorielle (a -f- iHjl se compose de (n — i) facteurs diminuant 

 d'une unité, 1, et pour n= i, le coefficient se réduit à 1. 



Faisons une application de la première des formules précédentes à une 

 série particulière, comme 



,1 + ,2 + ,3 + .4 + ,5 



la nouvelle forme sous laquelle se présente la série est très-élégante, 

 et me semble nouvelle : 



2 (1 -I- m) =1 + 1 + 1+1 



+ 2.1 +^.2 + 4.3+5.4 



+ —^ \ 2.1.1-^ + 3.2. 2^ + 4.3.3'^ + o.4.4^ 

 1 • 2 f _ 1 



+ -— i-— \ 3.2.1.2^^ + 4.3.2.3-^ + 5.4.2.4^) 

 1 . 2 . 3 f ) 



+ 1.^*3.4 ; ^.3.^.1.3' + o.4.a.^.i-j 



